[思路点拨] 根据已知条件求出n，再根据n为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．
[答案] 令x＝1，
则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n， 22nn
∴n＝2＝32，n＝5.2
(2分)
(1分)
(1)∵n＝5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项， (3分) ∴T3＝C25(x3(T4＝C5x23)3(3x2)2＝90x6，
(4分) (5分)
23)2(3x2)3＝270
x223.
(2)设展开式中第k＋1项的系数最大， 则由Tk＋1＝Ck5(x－
－
23)5－k(3x2)k＝3kCk
5
x10?4k3，
(6分)
k1k1?3kCkC5，5≥3?79
?得kk，∴≤k≤，∴k＝4，＋＋kk22??3C5≥31C51，
(8分)
即展开式中系数最大的项为
4(T5＝C5x23)(3x2)4＝405
x263.
(10分)
[总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．
变式训练 15．若(x3＋2)n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项是( )
xA．210
B．120 C．461
D．416
解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大， n
＋1＝6，∴n＝10， 2
3(10
Tr＋1＝Cr10x
－r)
130－5r. (2)r＝Cr10xx
∴30－5r＝0.∴r＝6.
6＝210. 答案：A 常数项为C10
5．已知?1?3x?的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
nnn21
解：由题意知Cn＋Cnn＋Cn＝121， 12即C0n＋Cn＋Cn＝121，
－－
6
∴1＋n＋
n?n－1?
＝121，即n2＋n－240＝0， 2
解得n＝15或－16(舍)．
7777
∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)＝C153x， 8888T9＝C815(3x)＝C153x.
课堂运用 一、选择题
1.二项式展开式中的常数项是（ ）
A. 180 B. 90 C. 45 D. 360 2.二项式
A. 84 B. -84 C. 126 D. -126 3.设
A. ﹣2014 B. 2014 C. ﹣2015 D. 2015 4.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.若对于任意的实数 x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3 ，则 a2 的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6.在二项式
A. ﹣10 B. 10 C. ﹣5 D. 5 7.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 8.812014 除以100的余数是( )
A. 1 B. 79 C. 21 D. 81 9.
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
除以9的余数为( )
展开式中不含x4项的系数的和为( )
的展开式中，含 x4 的项的系数是（ ） 的展开式中含有常数项为第( )项
，则
=（ ）
的展开式中 x3 的系数是（ ）
7
10.二项式
展开式中的常数项是( )
A. 第7项 B. 第8项 C. 第9项 D. 第10项
11.在二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中 x-2 项的系数
为（ ）
A. 1 B. 4 C. 8 D. 16
12.将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数
是整数的项共有（ ）个
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
13.已知
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 14.
A. -1 B. C. 1 D. 2 15.在
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则 n= （ ） 展开式中x3的系数为10，则实数a等于（ ）
二、填空题
16.设 ________. 17.
的展开式的各项系数之和为 M ，二项式系数之和为 N ，若M-N=240 ，则 n ＝
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ________ ．
18. (a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为 -3 ,则 x5 的系数为________
19.已知 的展开式中的常数项为 T ， f(x) 是以 T 为周期的偶函数，且当 时，
f(x)=x ，若在区间 [-1,3] 内，函数 g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数 k 的取值范围是________
8
20.对任意实数 x ，有 则 a3 的值为________.
，
三、解答题
21.求22.在二项式
（1）求展开式中含x3项的系数；
（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值. 23.已知(
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项． 24.已知
（1）求n的值； （2）求 25.已知
（1）求m和n的值； （2）求
展开式中含x2项的系数.
的值
， 且
．
＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：
的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.
的展开式中:
的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.
9
课堂运用答案解析
一、选择题 1.【答案】 A
【考点】二项式定理 【解析】【解答】二项式
得 r=2所以二项式
【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可. 2.【答案】 B
【考点】二项式系数的性质
展开式的通项为
展开式中的常数项是
.故选A．
令
【解析】【解答】由于二项式的通项公式为 展开式中x3的系数是 （?1）3?
,
,令9-2r=3，解得 r=3，∴
故答案为B．
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可. 3.【答案】 D
【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】由题意可得 即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：
，故选D．
【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可. 4.【答案】 B
【考点】二项式定理
【解析】【解答】由二项展开式公式：
，当8-2r=0，即r=4时,T5为常
数项,所以常数项为第5项.故选B
【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可. 5.【答案】 B
【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】因为 所以
，故选择B.
，
【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可. 6.【答案】 B
10
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