题4.1：一汽车发动机曲轴的转速在12s内由1.2?103r?min?1均匀的增加到2.7?103r?min?1。（1）求曲轴转动的角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？
题4.1解：（1）由于角速度???2?n（n为单位时间内的转数），根据角加速度的定义??在匀变速转动中角加速度为
2??n?n0??13.1rad?s?2
td?，dt?????0t12?（2）发动机曲轴转过的角度为
???0t??t2????02t???n?n0?t
在12 s内曲轴转过的圈数为 N??n?n0?t?390圈 2?2?t题4.2：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为???0(1?e?)，式中?0?9.0rad?s?1，（1）t?6.0s时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动后6.0s内??2.0s。求：
转过的圈数。 题4.2解：（1）根据题意中转速随时间的变化关系，将t ? 6.0 s代入，即得
t??????0??1?e????0.95?0?8.6s?1 ??（2）角加速度随时间变化的规律为
?d??0?????e?4.5e2s?2
dt?tt（3）t = 6.0 s时转过的角度为 ????dt??06s6s0t????0??1?e???dt?36.9rad ??则t = 6.0 s时电动机转过的圈数
??5.87圈 2?题4.3：如图所示，一通风机的转动部分以初角速度?0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度N?成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？
题4.3解：（1）通风机叶片所受的阻力矩为M??Cω，由转动定律M?Jα，可得叶片的角加速度为
??d?C?（1） ??dtJ根据初始条件对式（1）积分，有
td?C????0dt?0Jdt
?由于C和J均为常量，得
???0e?CtJ
1当角速度由?0??0时，转动所需的时间为
2t?Jln2 CtC?tJ（2）根据初始条件对式（2）积分，有
??0d????0e0dt
即
??J?0 2C在时间t内所转过的圈数为 N??J?0 ?2?4?C题4.4：一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03?103N?m，涡轮的转动惯量为25.0kg?m2。当轮的转速由2.80?103r?min?1增大到1.12?104r?min?1时，所经历的时间为多少？
题4.4解1：在匀变速转动中，角加速度??的时间 t????0t，由转动定律M?Jα，可得飞轮所经历
???0MJ?2?J?n?n0??10.8s M解2：飞轮在恒外力矩作用下，根据角动量定理，有
?t0Mdt?J????0?
则 t????0MJ?2?J?n?n0??10.8s M题4.5：用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R的飞轮支承在O点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动，记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式。（假设轴承间无摩擦）
题4.5解1：设绳子的拉力为FT，对飞轮而言，根据转动定律，有 FTR?J?
而对重物而言，由牛顿定律，有 mg?FT?ma（2）
由于绳子不可伸长，因此，有 a?R?（3）
重物作匀加速下落，则有 h?12at（4） 2由上述各式可解得飞轮的转动惯量为
?gt2??J?mR??1?2h?
??2解2：根据系统的机械能守恒定律，有 11?mgh?mv2?J?2?0（1?）
22而线速度和角速度的关系为
v?R?（2?）
又根据重物作匀加速运动时，有
v?at（3?） v2?2ah（4?） 由上述各式可得
?gt2??J?mR??1?2h?
??2若轴承处存在摩擦，上述测量转动惯量的方法仍可采用。这时，只需通过用两个不同质
量的重物做两次测量即可消除摩擦力矩带来的影响。
题4.6：一飞轮由一直径为30cm，厚度为2.0cm的圆盘和两个直径为10cm，长为8.0cm的共轴圆柱体组成，设飞轮的密度为7.8?103kg?m?3，求飞轮对轴的转动惯量。
题4.6解：根据转动惯量的叠加性，由匀质圆盘、圆柱体对轴的转动惯量公式可得
1?d?1?d?J?J1?J2?2?m1?1??m2?2?2?2?2?2??11?????ld14?ad24??0.136kg?m216?2?22
题4.7：如图所示，圆盘的质量为m，半径为R。求它对O?O?轴（即通过圆盘边缘且平行于盘中心轴）的转动惯量。
题4.7解：根据平行轴定理JO??JO?mR2和绕圆盘中心轴O的1转动惯量JO?mR2可得
2JO??JO?mR2?13mR2?mR2?mR2 2225题4.8：试证明质量为m，半径为R的均匀球体，以直径为转轴的转动惯量为mR2。如以和球体相切的线为轴，其转动惯量又为多少？
题4.8证：如图所示，图中阴影部分的小圆盘对OO?轴的转动惯量为 dJ?121rdm?R2?x2??R2?x2dx 22????式中??3m为匀质球体的密度。则球体以其直径OO?为转4?R3212??R2?x2dx?mR2 ?R25R轴的转动惯量为 J??dJ????又由平行轴定理可得球绕O1O?1轴的转动惯量为 7J??J?mR2?mR2
5题4.9：质量面密度为?的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为
?12lb(l2?b2)。其中l为矩形板的长，b为它的宽。
题4.9证：取如图所示坐标，在板上取一质元dm??dxdy，它对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为
dJ?x2?y2?dxdy
??整个矩形板对该轴的转动惯量为
J??dJ??l2l?2??xb2b?22?y2?dxdy??1?lbl2?b2 12??题4.10：如图所示，质量m1?16kg的实心圆柱体A，其半径为r?15cm，可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量m2?8.0kg的物体B。求：（1）物体由静止开始下降1.0s后的距离；（2）绳的张力FT。
题4.10解：（1）分别作两物体的受力分析图。对实心圆柱体而言，由转动定律得 FTr?J??1m1r2?（1） 2对悬挂物体而言，依据牛顿定律，有
??m2g?FT??m2a（2） P2?FT?。又由角量与线量的关系，得 且FT?FT a?r? 解上述方程组，可得物体下落的加速度 a?2m2g
m1?2m2在t = 1.0 s时，B下落的距离为
12m2gt2s?at??2.45m 2m1?2m2（2）由式（2）可得绳中的张力为
FT?m?g?a??m1m2g?39.2N
m1?2m2题4.11：质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。
题4.11解：分别对两物体及组合轮作受力分析，根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，
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