2018年湖州市“期望杯”数学竞赛试题
（初二组）
学校： 姓名： 准考证号： 成绩：______
说明：本试卷满分120分；时间120分钟（12月4日上午9：00---11：00） 一、选择题（每小题5分，共30分）
1.甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁．则（ ） Ａ．甲比乙大5岁 Ｂ．甲比乙大10岁 Ｃ．乙比甲大10岁 Ｄ．乙比甲大5岁
?9x?a?02.如果不等式组?的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b
8x?b?0?的有序数对（a、b）共有（ ）
Ａ.17个 Ｂ.64个 Ｃ.72个 Ｄ.81个 3.如图,边长为12m的正方形池塘的周围是草地,池塘边A,B,C,D处各有一 棵树, 且AB?BC?CD?3m. 现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上, 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在（ ） A.A处 B.B处 C.C处 D.D处 4.某台球桌为如图所示的长方形ABCD, 小球从
A D B C
A沿45?角击出, 恰好经过5次碰撞到达B处. 则
AB:BC等于（ ）
A.1∶2 B.2∶3 C.2∶5 D.3∶5
父母的 血型 子女可能的血型 O O，A O，B A，B A，O A ，B， A，B， A B，O A B B，O A，B， AB A，B，AB O，O O，A O，B O，AB A，A A，B A，AB B，B B，AB AB，AB 5.父母的血型与子女可能的血型之间有如上关系：
已知：⑴汤姆与父母的血型都相同；⑵汤姆与姐姐的血型不相同；⑶汤姆不是A型血． 那么汤姆的血型是（ ）．
A．O B．B C． AB D．不能唯一确定是什么血型 6.如图，点A在平行四边的形对角线上，试判断s1,s2之间的大小关系（ ）
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S1 S2 A A. s1?s2 B. s1?s2 C. s1?s2 D. 无法确定
二、填空题：（每小题5分，共30分）
7. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于 。
8.李立、王望、钱谦三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮，李立买了4本练习本、一支圆珠笔和10块橡皮，共付了11元，王望买了3本练习本、一支圆珠笔和7块橡皮，共付了8.9元，钱谦买了一本练习本、一支圆珠笔和一块橡皮应该付 元。 9. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出场顺序。未公布前每人都作了猜测，甲说：乙第三，丙第五；乙说：戊第四，丁第五；丙说：甲第一，戊第四；丁说：丙第一，乙第二；戊说：甲第三，丁第四。抽签后裁判说每人的出场顺序至少被一人所猜中，则出场顺序中，位于第一、第三、第五依次是 。
10. 如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子长度至少为 。
11. 如图，一足球由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，如果这种足球的白皮有20块，则黑皮有 块。
第11题 第10题
12.从古至今，密码的使用在很多方面都发挥着极其重要的作用。有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序（自左至右、自上而下）与26个自然数1，2，3，…，25，26对应（见下表）。 Q 1 F 14 W 2 G 15 E 3 H 16 R 4 J 17 T 5 K 18 Y 6 L 19 U 7 Z 20 X 21 C 22 V 23 B 24 N 25 M 26 I 8 O 9 P 10 A 11 S 12 D 13 设明文的任一字母对应的自然数为x，译为密文字母后对应的自然数为x?。例如，有一种译码方法按照以下变换实现：
x?x?，其中x?是(3x?2)被26除所得的余数与1之和(1?x?26)。
则x?1时，x??6，即明文Q译为密文Y； x?10时，x??7，即明文P译为密文U。
现有某变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x?：
x?x?，x?为(3x?b)被26除所得余数与1之和(1?x?26,1?b?26)。
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已知运用此变换，明文H译为密文T，则明文DAY译成密文为 . 三、解答题：（每小题20分，共60分）
13. 如图，P是平行四边形ABCD内部一点，PA，PB，PC，PD将平行四边形ABCD分成4个三角形，它们的面积分别为a,ar,ar2,ar3(a?0,r?0),试确定点P的位置，并说明理由.
D
P C
A
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B 14.某公园门票价格，对达到一定人数的团队，按团体票优惠，现有A、B、C三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票依次为360元、、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元． ⑴这三个旅游团各有多少人？
⑵在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符： 售 票 处 普通票 每人_____________元 团体票(人数须_______________) ____________________
15.已知?ABC是等腰三角形,过?ABC的一个顶点的一条直线, 把?ABC分成两个小三角形,如果这两个小三角形也是等腰三角形, 试求出?ABC各内角的度数.
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初二年级数学竞赛试卷参考答案
一.选择题
1、Ａ 2、C 3、B 4、C 5、D 6、A 二.填空题
7、16 8、4.7元 9、丙甲丁 10、2(??6)r 11、20 12、 CHQ 三.解答题 13、
解：由题意可知S△APD+S△BPC=S△APB+S△DPC=因为r?0，下面分三种情况讨论.
23（1） 若a?ar?ar?ar，得r?1，
12S平行四边形ABCD.（5分）
此时，S△APB=S△BPC=S△CPD=S△DPA.则点P必为AC与BD之交点；
23（2） 若a?ar?ar?ar，也可得r?1，
此时，S△APB=S△BPC=S△CPD=S△DPA.则点P必为AC与BD之交点； （3）若a?ar?ar?ar，由此可得：a(1?r)(1?r)2?0， 因为a?0,r?0，所以r?1，结论仍旧同（1）. 综上所述，点P必为对角线AC与BD的交点.（3
32（12分） 分）
14、解：
（1）360+384+480－72=1152（元），1152÷72=16（元/人）， 即团体票是每人16元。（5分）
因为16不能整除360，所以A团未达到优惠人数，
若三个团都未达到优惠人数，则三个团的人数比为360︰384︰480=15︰16︰20，
即三个团的人数分别为
151620?72、?72、?72，均不是整数，不可能， 515151所以B、C两团至少有一个团本来就已达到优惠人数，这有两种可能：
①只有C团达到；②B、C两团都达到． 对于①，可得C团人数为480÷16=30（人）， A、B两团共有42人，A团人数为
1516?42，B团人数为?42，不是整数，不可能；3131- 5 -
所以必是②成立，即C团有30人，B团有24人，A团有18人．（10分）
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