傅里叶变换4种形式

4种傅里叶变换形式

离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要，而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用.

连续傅里叶变换FT

当x(t)为连续时间非周期信号，而且满足傅里叶变换条件，它的傅里叶变换为X(j?).x(t)与X(j?)之间变换关系为傅里叶变换对：

?X(j?)?1x(t)?2????j?tx(t)edt ???j?tX(j?)ed? ?傅里叶变换的结果通常是复数形式，其模为幅度谱，其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续.

连续傅里叶变换级数FS

当x是周期为T的连续时间周期信号，在满足傅里叶级数收敛条件下，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk?0).其中，?0的间隔.x(t)与

~~?2?T,单位为rad/s，称作周期信号的基波角频率，同时也是离散谱线

X(jk?0)之间的变换关系为傅里叶级数变换对：

1X(jk?0)?T?2?T2Tx(t)e?jk?0tdt

jk?0t~1x(t)?2?k????X(jk?)e0?

时域波形周期重复，频域幅度谱为离散谱线，离散谱线频率间隔为模拟角频率?0=2?T.幅度谱|

其X(jk?0)|表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号ejk?0t组合而成，基波角频率为?0，单位为rad/s.

离散时间傅里叶变换DTDT

当x(n)为离散时间非周期信号，且满足离散时间傅里叶变换条件，其离散时间傅里叶变换为与

X(ej?).x(n)

X(ej?)之间变换关系为离散时间傅里叶变换对:

j??X(e)??x(n)e?j?nn??

1x(n)?2???X(e??j?)ej?nd?

时域波形以抽样间隔Ts为时间间隔离散化，而频域频谱图则是连续的，且以数字角频率2π为周期化.

离散傅里叶级数DFS

当x(n)为离散时间周期为N的周期信号，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数系数为x(k).

~~x(n与)x(k)之间变换关系为离散傅里叶级数变换对：

~~X(k)??x(n)en?0~~N?1~?j2?nkN -?

jnk1N?1~x(n)??X(k)eN

Nk?02?时域与频域都离散且周期.时域波形以N为周期，以抽样间隔Ts为时间间隔离散化.频域频谱图|

X(k)|以N为周期，离散谱线间隔为数字角频率

~2?N，对应模拟角频率为

2?NTs2?N.频谱图表明离散时间周

期信号是由成谐波关系的有限个角频周期序列ej2?knN组合而成，基波频率为

，单位为rad/s