专题：基本不等式
基本不等式求最值
三个不等式关系：
利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号
(1) a, b� R, a2+ b2>2ab，当且仅当a = b时取等号. (2) a, b� R+ , a+ b>2 ab,当且仅当a= b时取等号. a2+ b2 a + b
(3) a, b� R, —2 w(―厂)2，当且仅当a= b时取等号
上述三个不等关系揭示了 a2+ b2 , ab , a + b三者间的不等关系.
a + b
其中，基本不等式及其变形：
a, b� R, a + b>2話ab(或ab< (―^ )2),当且仅当a = b时
取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值. 【题型一】利用拼凑法构造不等关系
【典例1】已知a>b〉1且2log a b 3logba
7,则
1 b2 1
的最小值为
2 2
练习：1.若实数x,y满足x
y 0，且 log 2 x log 2 y
x y
1 的最小值为 y 3 c C
1 ,则
的最小值为
2.若实数 x, y满足xy 3x 3(0
x 1) 2丿
冲3 ，则一
x
3.已知a
0,b 0,c 2，且a
b 2,
ac
则一
5
的最小值为
b ab 2 c 2
【典例2】已知X, y为正实数，则比+击的最大值为 —.
【典例3】若正数a、b满足ab a b 3,则a b的最小值为 ____________________________ 变式：1?若a, b R ,且满足a2 b2
a b,则a b的最大值为
2.设x 0, y 0 , x 2y 2xy 8，则x 2y的最小值为 ____________________________
2
3.设 x, y R , 4x
y2 xy 1,则2x y的最大值为 ________________________
4. 已知正数a , b满足丄-
a b
ab 5，贝U ab的最小值为 __________
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【题型二】含条件的最值求法
【典例4】已知正数x, y满足x y
的最小值为 ____________________
1 1
练习1.已知正数x, y满足丄丄
4x
空的最小值为
x y
-
4x
y 1
2?已知正数x,y满足x 2y 2，则 乞旦 的最小值为 _____________________ .
xy
3.已知函数y ax b(b 0)的图像经过点P(1,3)，如下图所示,
4 a 1 b
1
则——-的最小值为
4.己知a, b为正数，且直线
则2a+3b的最小值为 ____________.
ax by 6 0与直线2x (b 3)y 5 0互相平行,
5. ___________________________________________________________________________ 常
b
数 a,b和正变量x,y满足ab= 16,罗=J若x+ 2y的最小值为64,则a= ___________________________
6?已知正实数a,b满足
1 2a b b
2 2b a a
1，则ab的最大值为
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【题型三】代入消元法 【典例
5】(苏州市2016届高三调研测试?14)已知ab - , a,b (0,1)，则丄 _L的
练习1.
4 值 为 __________________
设实数x, y满足x2 + 2xy — 1 = 0,贝U x2 + y2的最小值是 _______________
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1 a 1 b
2.已知正实数x, y满足
值为 _______ .
，贝U x + y的最小
3 .已知正实数x,y满足(x 1)(y 1) 16，则x y的最小值为 __________________________ .
4
4?若a
1
取得最小值的实数 a= _________ 。
0,b 2，且a b 3，则使得
a b 2
2
5.设实数x、y满足x + 2xy— 1 = 0,贝V x+ y的取值范围是 ___________________
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2 2 2
6.已知 x, y,z R，且 x y z 1 , x y z 3，求xyz的最大值为 ___________________
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