2018年湖北省咸宁市中考数学试卷

的最大值；

（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．

【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；

（2）过点P作y轴的平行线交AB于点E，据此知△PEQ∽△OBQ，根据对应边成比例得y=PE，由P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3）得PE=﹣m2+m，结合y=PE可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值；

（3）设CO的垂直平分线与CO交于点N，知点M在CO的垂直平分线上，连接OM、CM、DM，根据∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD知sin∠ODC=sin∠OMN=

=

，当MD取最小值时，sin∠ODC最大，据此进一步求解可得．

【解答】解：（1）在y=﹣x+3种，令y=0得x=4，令x=0得y=3， ∴点A（4，0）、B（0，3），

把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；

（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，

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则△PEQ∽△OBQ， ∴∵

=

，

=y、OB=3，

∴y=PE，

∵P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3），

则PE=（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+m， ∴y=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣2）2+， ∵0＜m＜3，

∴当m=2时，y最大值=，

∴PQ与OQ的比值的最大值为；

（3）由抛物线y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），对称轴为直线x=1， ∵△ODC的外心为点M， ∴点M在CO的垂直平分线上，

设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，

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则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD， ∴sin∠ODC=sin∠OMN=又MO=MD，

∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大， 此时⊙M与直线x=1相切，MD=2， MN=

=

， ），

）也符合题意；

）或（﹣1，﹣

）．

=

，

∴点M（﹣1，﹣

根据对称性，另一点（﹣1，

综上所述，点M的坐标为（﹣1，

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质、三角形的外心、圆的有关性质等知识点．

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