2013年中考数学复习专题讲座十：方案设计型问题

2013年中考数学复习专题讲座十：方案设计型问题

一、中考专题诠释

方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。

随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。

二、解题策略和解法精讲

方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。 三、中考考点精讲

考点一：设计测量方案问题

这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。

例1 （2012?河南）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：设AB=x米．根据∠AEB=45°，∠ABE=90°得到BE=AB=x，然后在Rt△ABD中得到tan31°= x．求得x=24．然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC即可． x?16解答：解：设AB=x米． ∵∠AEB=45°，∠ABE=90°， ∴BE=AB=x 在Rt△ABD中，tan∠D=即tan31°=AB， BDx． x?1616tan31?16?0.6∴x=≈=24． 1?tan31?1?0.6第 1 页 共 28 页

即AB≈24米 在Rt△ABC中， AC=BC?AB?2272?242=25． 即条幅的长度约为25米． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 考点二：设计搭配方案问题

这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。 例2 （2012?内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题： 造型花卉 甲 乙 A 80 40 B 50 70 （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？

考点： 一元一次不等式组的应用。810360 专题： 应用题；图表型。

分析： （1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个，根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可． （2）计算出每种方案的花费，然后即可判断出答案． 解答： 解：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个， 则有

，

解得37≤x≤40，

所以x=37或38或39或40．

第一方案：A种造型37个，B种造型23个； 第二种方案：A种造型38个，B种造型22个； 第三种方案：A种造型39个，B种造型21个． 第四种方案：A种造型40个，B种造型20个．

（2）分别计算三种方案的成本为： ①37×1000+23×1500=71500元， ②38×1000+22×1500=71000元， ③39×1000+21×1500=70500元， ④40×1000+20×1500=70000元． 通过比较可知第④种方案成本最低．

答：选择第四种方案成本最低，最低位70000元．

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点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，是一道实际问题，有一定的开放性，（1）根据图表信息，利用所用花卉数量不超过甲、乙两种花卉的最高数量列不等式组解答；（2）为最优化问题，根据（1）的结果直接计算即可． 考点三：设计销售方案问题

在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。

例5 （2012?广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．

（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？

（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？

（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？

考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。810360

分析： （1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案；

（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可；

（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用． 解答： 解：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：

，

解得：

．

答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元．

（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得：

，

解得：99≤a≤101，

∵a为正整数，

∴a=99，100，101，则电脑依次买：297台，296台，295台． 因此该校有三种购买方案：

方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块； 方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；

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方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块；

（3）解法一：

购买笔记本电脑和电子白板的总费用为： 方案一：295×4000+101×15000=2695000（元） 方案二：296×4000+100×15000=2684000（元） 方案三：297×4000+99×15000=2673000（元）

因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元． 解法二：

设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元， 则W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000，

∵W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000（元）

因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000元．

点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．

考点四：设计图案问题

图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性。 例6 （2012?遵义）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正

方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．

考点：利用轴对称设计图案．

分析：根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．

解答：解：如图所示：

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