§11-5 习题解答与模拟试题

习题解答

1.设h为坐标平面Oxy上与Ox轴正方向构成角?的向量（0???2??。 ⑴ 求函数f(x,y)?x2?y2?xy在点(1,1)沿h方向的方向导数；

⑵ 当?为何值时，上述方向导数：(i)有最大值；(ii)有最小值；(iii)等于零。 分析与解答：函数f(x,y)?x2?y2?xy可微分，而单位向量h?(cos?,sin?)，根据公

0式

0（0???2?? Dhf(1,1)?Df(1,1)?h?fx?(1,1)cos??fy?(1,1)sin?

?fx?(1,1)?(2x?y)?求方向导数。因为其中?f?(1,1)?(2y?x)??y(1,1)(1,1)?1?1，所以方向导数Dhf(1,1)?cos??sin?

其次，令?(?)?cos??sin?(0???2π)2?)，因为??(?)??sin??cos?，而当

?5??5π??π?,时，??(?)?0；又因为?(0)??(2π)?1，????2，?????2，所以 44?4??4??5?(i)当??时，方向导数有最大值2；(ii)当??时，方向导数有最小值?2 443?7?,最后，显然当??时，方向导数等于零。 44x2.设函数u?。求它在点P(1,2,?2)沿曲线l(x?t,y?2t2,z??2t4)的切

x2?y2?z2??线正方向上的方向导数。

3分析与解答：曲线l(x?t,y?2t2,z??2t4)的切线正方向，就是切向量??(1,4t,?8t)的

方向。曲线l上的点P(1,2,?2)对应参数t?1，所以切向量为??(1,4,?8)，而单位切向量为

???08??14,,??

9??991下面求偏导数的演算可以在草纸上做：

1?u?(P)?xx?y?z?x?x?y?z222222xx?y?z2223??(1,2,?2)3?8

927?x?u?(P)?y2yx?y?z222??(1,2,?2)2x?y?z223??2

927?x?u?(P)?z2zx?y?z2222222?3? 927(1,2,?2)x?y?z根据求方向导数的公式，则

D?u(P)?Du(P)??0?827?2?8?16?2?4 ????????????9?27?927?9?24313.梯度的运算规则

⑴grad(ku)?kgradu（k为常数）； ⑵grad(u?v)?gradu?gradv； ⑶grad(uv)?vgradu?ugradv； ⑷gradf(u)?f?(u)gradu。

注：因为梯度实际上就是导数，所以梯度的运算规则就像导数的运算规则一样。 4.设r?(x,y,z)，r?r?0。证明： ⑴gradr?r0【单位向量】； ⑵grad证 ⑴r?rx??1r??rr3

x2?y2?z2，则

xx?y?z222?xr，ry??yx?y?z222?yr，rz??zx?y?z222?zr

因此，gradr??⑵grad1rr?xyz?1,,??(x,y,z)?=r0

r?rrr?r1r2??gradr??1r2r0??rr3

5.求函数z?ln(x2?y2)在点(a,b)?(0,0)沿梯度方向的方向导数。

分析与解答：沿梯度方向的方向导数就是梯度的模，即Dnz?gradz，所以要先求梯度。函数z?ln(x2?y2)?lnr2?2lnr【其中r?gradz?2r，而它的梯度为 x2?y2】gradr?2rr0

因此，函数z?2lnr在点(a,b)?(0,0)沿梯度方向的方向导数就是

gradz(a,b)?2r(a,b)?2a?b22

6.求函数u?xyz在点P(1,1,1)沿梯度方向的方向导数。

???，1所以解 沿梯度方向的方向导数就是梯度的模。因为u?x(P)?uy(P)?uz(P)gradu(P)??(u?x(P),u?y(P),u?z(P)???1,1,1?。因此，函数u?xyz在点P(1,1,1)沿梯度方向的

方向导数为gradu(P)?12?12?12?3

7.等值线 类似于空间的等值面f(x,y,z)?c【见教科书，p.060，图11-29】，坐标平面Oxy上满足方程f(x,y)?c【常数】的所有点(x,y)构成的集合 称为等值线。若函数f(x,y)连续可微分且在等值线l上点 P0(x0,y0)处有[fx?(P0)]2?[fy?(P0)]2?0。证明：gradf(P0)

l gradf(P0)

P0 与曲线l在点P0处的切线垂【第7题图，证明见教科书中选解】。

第7题图

8.若函数f(x,y,z)连续可微分，点P0(x0,y0,z0)为 等值面f(x,y,z)?c上一个定点且Df(P0)?0。证明：

gradf(P0)与曲面f(x,y,z)?c上点P0处的法线

gradf(P0)

P0 S 第8题图

f(x,y,z)?c

平行【即与切平面垂直】（第8题图）。证明见教科书中 选解。

向导数.问：沿内法线方向的方向导数为何？

分析：单位球面x2?y2?z2?1上点P0(x0,y0,z0)处的外法线方向，就是函数

f(x,y,z)?x2?y2?z2

9.求函数u?x?y?z在单位球面x2?y2?z2?1上点P0(x0,y0,z0)处沿外法线方向的方

在点P0(x0,y0,z0)的梯度gradf(P0)的方向。因为gradf(P0)??2x0,2y0,2z0?，而函数u在点P0的导数为Du(P0)??1,1,1?，所以函数u?x?y?z在单位球面x2?y2?z2?1上点P0(x0,y0,z0)处沿外法线方向的方向导数为

Dnu(P0)?Du(P0)?gradf(P0)gradf(P0)（※）

其中

gradf(P0)gradf(P0)为函数f沿梯度方向或外法线方向的单位向量【相当于方向导数公式中那个单

2，所以

gradf(P0)gradf(P0)??x0,y,0z位向量h0】。因为gradf(P0)?Dnu(P)0?x0??0。因此，

yzx0?y0?z0；而沿内法线方向的方向导0?，即沿外法线方向的方向导数为

xx2?y2?z2数为?(x0?y0?z0)。 10.求函数u?在点A(1,2,2)和点B(?3,1,0)的两梯度之间的夹角?

解 先求偏导数：

u?x?u?y?u?z?1?(x2?y2?z2)?x?2x(x2?y2?z2)20?(x2?y2?z2)?x?2y(x2?y2?z2)20?(x2?y2?z2)?x?2z(x2?y2?z2)2???y2?z2?x2(x2?y2?z2)2?2xy(x2?y2?z2)2?2xz(x2?y2?z2)2

于是，梯度gradu(A)??6?4?4???8?，梯度gradu(B)?,,0?。因此， ,???100100??818181??7,8?8??arccos??????arccos

gradu(A)gradu(B)9?9?gradu(A)?gradu(B)??arccos11.设函数u?u(x,y,z)与v?v(x,y,z)都可微分。问在什么条件下，函数u在点(x,y,z)沿函数v在同一点(x,y,z)的梯度方向的方向导数等于零？

分析与解答：根据方向导数的公式Dhu(x,y,z)?Du(x,y,z)?h0，这里h0的方向就是梯度

??v?v?v?gradv??,,?的方向。因此，

??x?y?z?方向导数Dhu?0?Du?h0?gradu?gradv?0?即当

?u?v?x?x??u?v?y?y??u?v?z?z?u?v?x?x??u?v?y?y??u?v?z?z?0

?0时，函数u在点(x,y,z)沿函数v在同一点(x,y,z)的梯度方向

的方向导数等于零？

模拟试题

方向导数与梯度仅是考研试题数学一的考点之一，其他数学试卷中没有这一节的内容。 ㈠ 填空题

(1)函数u?ln(x2?y2?z2)在点P(1,2,?2)处的梯度gradu分析：梯度graduDu(1,2,?2)(1,2,?2)?______

就是导数

?(1,2,?2)(1,2,?2)??u?u?u?2??,,?2?x,y,z??22x?y?z??x?y?z?(1,2,?2)?29(i?2j?2k)

29?1,2,?2?

或写成gradu(1,2,?2)注意：向量的三种等同记法：?ax,ay,az?，axi?ayj?azk，(ax,ay,az)。前两种记法强调其中的ax,ay,az是向量的坐标，而后一种记法强调其中的ax,ay,az是向量的分量。

(2)设函数u(x,y,z?)?u?n(1,2,3)x2?16?y212?z218，则沿向量n??1,1,1?方向的方向导数

?______

分析：根据求方向导数的公式

?u?n(1,2,3)0?Du(1,2,3)?n

其中Du(1,2,3)为函数u在点(1,2,3)的导数【梯度】，即

Du?1?313(1,2,3)??u?u?u???,,??x?y?z??(1,2,3)?111???,,? ?333?而单位向量n0???u?n,,1??。因此， 3?(1,2,3)11?1111111?111??1 ??,,???,,????????33333333?3333???3(3)函数u?ln(x?________

沿A指向点B(3,?2,2方)向的方向导数为y2?z2)在点A(1,0,1)????0分析：先求出导数Du(A)与单位向量AB，然后按方向导数的公式求方向导数。因为