数学苏教版选修2-1教案：3.1.1-2 空间向量及其线性运算 共面向量定理 Word版含解析

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1．证明EFGH为梯形，必须证明两点：①EH∥FG； →→②|EH|≠|FG|.

2．利用向量共线可证空间图形中的两直线平行，为向量法证明立体几何问题奠定了基础．

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设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB＝e1＋ke2，BC＝5e1＋4e2，DC＝－e1－2e2，且A、B、D三点共线，求实数k的值．

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【解】 ∵BC＝5e1＋4e2，DC＝－e1－2e2. →→→

∴BD＝BC＋CD＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝6e1＋6e2.

∵A，B，D三点共线， →→∴AB＝λBD.

∴e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)．

??1＝6λ ，

∵e1，e2是不共线向量，∴?∴k＝1.

??k＝6λ ，

共面向量定理的应用 (2012·辽宁高考)如图3－1－4，直三

棱柱ABC－A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.

图3－1－4

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【思路探究】 利用向量的线性运算得到向量MN可以由平面A′ACC′内两个不共线的向量表示即可．

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【自主解答】 因为MN＝MA′＋A′N，且点M，N分别为A′B和B′C′的中点，→1→→→→1→1→1→1→所以MN＝BA′＋(A′B′＋A′C′)＝(B′A′＋AA′)＋(A′B′＋A′C′)＝AA′

222221→

＋A′C′. 2

因为MN?平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.

1．判断三个向量共面，即利用向量的线性运算实现其中一个向量能用另外两个向量惟一表示．

2．利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量．两种方法中注意说明直线不在平面内．

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已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面．

【证明】 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋ν(3e1－3e2)＝0， 则(λ＋2μ＋3ν)e1＋(λ＋8μ－3ν)e2＝0.

??λ＋2μ＋3ν＝0，

∵e1，e2不共线，则?

??λ＋8μ－3ν＝0，

解得λ＝－5，μ＝1，ν＝1是其中一组解， →1→1→

则AB＝AC＋AD，∴A、B、C、D四点共面.

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