数学苏教版选修2-1教案：3.1.1-2 空间向量及其线性运算 共面向量定理 Word版含解析

忽略零向量导致错误

下列命题：

①空间任意两个向量a，b不一定是共面的； ②a，b为空间两个向量，则|a|＝|b|?a＝b； ③若a∥b，则a与b所在直线一定平行； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中错误命题的序号是________． 【错解】 ②

【错因分析】 ①空间任意两个向量都是共面的．②向量的模相等时，两个向量不一定相等，还要看向量的方向．③当a∥b时，它们所在直线平行或重合．④当b＝0时，a与c不一定平行．

【防范措施】 向量的平行(共线)不具备传递性，即若a∥b，b∥c，不一定有a∥c，但

当b为非零向量时，向量平行(共线)具备传递性，即若b≠0，则当a∥b，b∥c时，有a∥c.

【正解】 ①②③④

1．空间向量是平面向量的拓广和延伸，空间向量的线性运算法则和运算律与平面向量具有可类比性，但空间向量比平面向量应用范围更广泛．

2．共线向量定理是判定两向量共线的充要条件，利用共线向量定理可以解决两方面的问题：(1)判定两向量共线；(2)由两向量共线，求待定字母的值．

3．共面向量定理是判断三向量共面的理论依据，依此可以证明三向量共面，从而证明四点共面与线面平行问题．

→→→→

1．在空间四边形ABCD中，AB＋BC＋CD＋DA＝______. →→→→→→→→→

【解析】 AB＋BC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DA＝AD＋DA＝0. 【答案】 0

→→→→→→

2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，化简式子：DA－DB＋B1C－B1B＋CB1－CB＝________.

→→→→→→

【解析】 DA－DB＋B1C－B1B＋CB1－CB →→→→→→＝BA＋BC＋BB1＝BD＋BB1＝BD1. →

【答案】 BD1

3．有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．

【解析】 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确．

【答案】 ①②③

图3－1－5

→→→

4．如图3－1－5，在空间四边形ABCD中，E、F为AB、CD的中点，试证EF，BC，AD共面．

【证明】 空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，利用多边形加法法则可得

→→→→EF＝EA＋AD＋DF，→→→→EF＝EB＋BC＋CF.

?? ?

①

又E、F分别是AB、CD的中点， →→故有EA＝－EB，→→DF＝－CF.

②

将②代入①中，两式相加得 →→→2EF＝AD＋BC. →1→1→所以EF＝AD＋BC，

22→→→

即EF与BC、AD共面．