精品
1??A.?－∞，? 2??
B．(0，＋∞) D．(－∞，0)
?1?C.?，＋∞?
?2?
答案 B
解析 构造函数g(x)＝则g′(x)＝
f?x?
e
x，
f′?x?－f?x?
e
x，
因为f′(x) 2e21xf?x?1 则不等式f(x)－e<0可化为x<， 2e21 即g(x)<＝g(0)， 2 所以x>0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)． 13?1?2 4．(2018·浙江杭州二中月考)若函数f(x)＝bx－ax－?b－?x＋1存在极值点，则关于a，b的描述正确的是 3?b?( ) A．a＋b有最大值2 B．a＋b有最小值－2 C．a＋b有最小值1 D．a＋b无最大值也无最小值 答案 D 2 2 2 2 ?1??1?22 解析 由题意得f′(x)＝bx－2ax－?b－?，则由函数f(x)存在极值点得导函数f′(x)＝bx－2ax－?b－?存 ? b? ?b? ?1?22222 在穿过型零点，则(－2a)＋4b?b－?>0，化简得a＋b>1，所以a＋b无最大值也无最小值，故选D. ? b? 5．设过曲线f(x)＝e＋x＋2a(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝(1－2x) 2－2sin x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为( ) A．[－1,1] C．[－1,2] 答案 C 解析 设y＝f(x)的切点为(x1，y1)，y＝g(x)的切点为(x2，y2)，f′(x)＝e＋1，g′(x)＝－a－2cos x， 由题意得，对任意x1∈R，总存在x2使得(e1＋1)(－a－2cos x2)＝－1， xxxaB．[－2,2] D．[－2,1] 精品 ∴2cos x2＝ 1 1 ex1＋1 －a对任意x1∈R均有解x2， 故－2≤－a≤2对任意x1∈R恒成立， e＋1 x1则a－2≤1 1 ex1＋1 ≤a＋2对任意x1∈R恒成立． 又 ∈(0,1)，∴a－2≤0且2＋a≥1，∴－1≤a≤2. e＋1 x16．已知f(x)＝xln x＋1答案 2 f′?1? ，则f′(1)＝________. x解析 因为f′(x)＝1＋ln x－ f′?1? ，令x＝1， x2 1 得f′(1)＝1－f′(1)，解得f′(1)＝. 2 7．(2018·全国Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)e在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________. 答案 －3 解析 ∵y′＝(ax＋a＋1)e，∴当x＝0时，y′＝a＋1， ∴a＋1＝－2，得a＝－3. 8．已知函数f(x)＝2ln x和直线l：2x－y＋6＝0，若点P是函数f(x)图象上的一点，则点 P到直线l的距离的最小值为________． 答案 85 5 xx解析 设直线y＝2x＋m 与函数f(x)的图象相切于点P(x0，y0)(x0>0)． f′(x)＝，则f′(x0)＝＝2，解得x0＝1，∴P(1,0)． xx0 |2×1－0＋6|85 则点P到直线2x－y＋6＝0的距离d＝＝，即为点P到直线2x－y＋6＝0的距离的最小值． 22 52＋?－1?9．已知函数f(x)＝3 答案 1 4 解析 由题意得f(x)＝ 22 x＋a?－1，m?，则常数a＝________，m＝________. (a∈R)的值域是?4?x2＋1?? x＋a1≥－， 2 x＋14 121 即a≥－x－x－对任意x∈R恒成立，且存在x∈R使得等号成立， 441??12 所以a＝?－x－x－?max， 4??4 精品 121132 又因为－x－x－＝－(x＋2)＋， 44441?3?12 所以a＝?－x－x－?max＝， 4?4?43 44x＋3 所以f(x)＝2＝2， x＋14x＋4 x＋ －2x－3x＋2?x＋2??－2x＋1? 则f′(x)＝＝， 2222 2?x＋1?2?x＋1?1??当x∈?－2，?时，f′(x)>0， 2?? 2 ?1?当x∈(－∞，－2)和?，＋∞?时，f′(x)<0， ?2? 又x→－∞时，f(x)→0， 1 所以易知，当x＝时，f(x)取得最大值 214×＋32?1?f ??＝＝1，即m＝1. 1?2?2??4×??＋4?2?e 10．已知函数f(x)＝－a(x－ln x). xx(1)当a≤0时，试求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围． 解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． xe?x－1??1?f′(x)＝－a?1－? 2 x?x? e?x－1?－ax?x－1?＝， 2 xx＝ (ex－ax)?x－1? x2 . x当a≤0时，对于?x∈(0，＋∞)，e－ax>0恒成立， 所以由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0 x(ex－ax)?x－1? x2 x＝0， e即e－ax＝0，即a＝. x 精品 e 设g(x)＝，x∈(0,1)， xxe?x－1? 所以 g′(x)＝， 2 xx当x∈(0,1)时，g′(x)<0恒成立， 所以g(x)单调递减． 又因为g(1)＝e，又当x→0时，g(x)→＋∞， 即g(x)在(0,1)上的值域为(e，＋∞)， 所以当a>e时，f′(x)＝ x(ex－ax)?x－1? x2 x＝0 有解． 设H(x)＝e－ax，则 H′(x)＝e－a<0，x∈(0,1)， 所以H(x)在(0,1)上单调递减． 因为H(0)＝1>0，H(1)＝e－a<0， 所以H(x)＝e－ax＝0在(0,1)上有唯一解x0. 当x变化时，H(x)，f′(x)，f(x)变化情况如表所示： xx H(x) f′(x) f(x) (0，x0) ＋ － ↘ x0 0 0 极小值 (x0,1) － ＋ ↗ 所以当a>e时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一． 当a≤e时，当x∈(0,1)时，f′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，不成立． 综上，a的取值范围为(e，＋∞)． 11．已知函数f(x)＝x－aln x＋b，a，b为实数． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋3，求a，b的值； 3 (2)若|f′(x)|<2对x∈[2,3]恒成立，求a的取值范围． x解 (1)由已知，得f′(x)＝1－， 且由题设得f′(1)＝2，f(1)＝5， 从而得1－a＝2且1＋b＝5， 解得a＝－1，b＝4. (2)根据题设可知，命题等价于 33333?a?3 当x∈[2,3]时，?1－?<2恒成立?|x－a|<恒成立?－ xax??xxxxxx3 设g(x)＝x－，x∈[2,3]， x 精品 h(x)＝x＋，x∈[2,3]， x则(*)式即为g(x)max 33 而当x∈[2,3]时，g(x)＝x－和h(x)＝x＋均为增函数， 3 xx7 则g(x)max＝g(3)＝2，h(x)min＝h(2)＝， 2 ?7?所以实数a的取值范围为?2，?. ?2? B组 能力提高 12．已知函数f(x)＝sin x－xcos x，现有下列结论： ①当x∈[0，π]时，f(x)≥0； ②当0<α<β<π时，α·sin β>β·sin α； sin x2?π?③若n< 2?xπ? |sin xi| ④已知k∈[0，1]，当xi∈(0，2π)时，满足＝k的xi的个数记为n，则n的所有可能取值构成的集合 xi为{0,1,2,3}． 其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C 解析 当x∈[0，π]时，f′(x)＝xsin x≥0， 函数f(x)在[0，π]上为增函数， 所以f(x)≥f(0)＝0，①正确； sin x令g(x)＝，由①知， x当x∈(0，π)时，g′(x)＝ x·cos x－sin x<0， x2 所以g(x)在(0，π)上为减函数， sin αsin β所以g(α)>g(β)，即>， αβ所以α·sin β<β·sin α，②错误； sin x?π?由②可知g(x)＝在?0，?上为减函数， 2?x?sin x?π?22 所以g(x)＝>g??＝，则n≤， xπ?2?π ?π?令φ(x)＝sin x－x，当x∈?0，?时， 2?? φ′(x)＝cos x－1<0，
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