一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y??【解析】
12x?4；（2）2＜m＜22；（3）m=6或m=17﹣3． 2试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（22，0），设抛物线的解析式为
y?ax2?4，把A（22，0）代入可得a=?1，由此即可解决问题； 2（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为
12?y??x?4??122y??x?m??4，由?，消去y得到x2?2mx?2m2?8?0，由题
2?y?1?x?m?2?4?2??(2?42m2?8?0??2m?0意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有?，
?2m2?8?0??解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得
??M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（22，0），设抛物线的解析式为
y?ax2?4，把A（22，0）代入可得a=?1，∴抛物线C的函数表达式为21y??x2?4．
2（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为
12?y??x?4??122y??x?m??4，由?，消去y得到x2?2mx?2m2?8?0 ，由题意，
2?y?1(x?4?2??(2?42m2?8?0??2m?0抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有?，解得
?2m2?8?0??2＜m＜22，∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜22． （3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
??
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在y??1212x?4上，∴m?2???m?2??4，解得m=17﹣3或22﹣17﹣3（舍弃），∴m=17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y??1212x?4中，2?m???m?2??4，解得m=6或0（舍弃），∴m=622时，四边形PMP′N是正方形．
综上所述：m=6或m=17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
2．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b． （1）如图1，当a＝42时，求b的值；
（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；
（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．
【答案】（1）42；（2）b＝8；（3）ab＝32． 【解析】
试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝42 ，∠ACB＝45°． 再CE＝a＝42，可得∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC； （2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得； （3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.
试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝42 ，∠ACB＝45°． ∵CE＝a＝42，∴∠CAE＝∠AEC＝
45?＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，2∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42；
（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC＝∠AEC．
又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴8，即b＝8．
ACCF42CF?，∴，∴CF＝?ECCA442
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