选修2-3 [键入文字] 排列组合与二项式定理
教学目标：
1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点：
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式 教学过程 一、复习引入： 1．排列的概念：
从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示 m注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（m?n）．．．．．个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号An只表示排列数，而不表示具体的排列 m3．排列数公式及其推导：
An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)（m,n?N,m?n）
n全排列数：An?n(n?1)(n?2)?2?1?n!（叫做n的阶乘） m?二、讲解新课：
19组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．
m3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：① 先
9 / 56
m选修2-3 [键入文字] 排列组合与二项式定理
求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cnm；② 求每一个组合中m个元素全排列数
Ammmm，根据分步计数原理得：An＝Cn?Amm．
（2）组合数的公式：
mCmAn(n?1)(n?2)?(n?m?1)?n?或n!Am?nmm!Cmn?m!(n?m)!(n,m?N,且m?n) 例子：
1、计算：（1）C4C77； （2）10；
（1）解： C47?7?6?5?44!＝35；
（2）解法1：C710?9?8?7?6?5?410?7!＝120．
解法2：C710!10??10?9?87!3!3!＝120．
2、求证：Cmm?1m?n?n?m?C1n． 证明：∵Cmn!n?m!(n?m)!
m?1?Cm?1m?1n?mn?n?m?n!
(m?1)!(n?m?1)!＝
m?1?n!
(m?1)!(n?m)(n?m?1)!＝
n!
m!(n?m)!∴Cmm?1m?1n?n?m?Cn
3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查． (1)全是合格品的抽法有多少种？ (2)次品全被抽出的抽法有多少种？ (3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？
10 / 56
选修2-3 [键入文字] 排列组合与二项式定理
(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？
4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
21解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C43，C4?C6，
C4?C6，
112所以，一共有C43+C42?C6+C4?C6＝100种方法．
1233解法二：（间接法）C10?C6?100
课堂小节：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式 课堂练习： 课后作业： 1.2.2组合
（第二课时）
教学目标：
1掌握组合数的两个性质；
2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点：
掌握组合数的两个性质
教学过程
一、复习引入：
111组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫
做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；② 求每一个组合中m个元素全排列数
11 / 56
mmm选修2-3
mmm[键入文字]
m排列组合与二项式定理
Am，根据分步计数原理得：An＝Cn?Am．
（2）组合数的公式：
Cmn?AnAmmm?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)m!或Cm?nn!m!(n?m)!?(n,m?N,且m?n) 二、讲解新课：
112 组合数的性质1：Cnm?Cnn?m．
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n?m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应，所．．．．以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：Cnm?Cnn?m．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵Cnn?m?又 Cnm?n!n!(n?m)![n?(n?m)]!?n!m!(n?m)!
m!(n?m)!，∴Cn?Cnmn?m 0说明：①规定：Cn?1；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
xy③Cn?Cn?x?y或x?y?n．
2．组合数的性质2：Cn?1＝Cn+Cnmmm?1．
m一般地，从a1,a2,?,an?1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn?1，这
些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从
a2,a3,?,an?1这n个元素中取出m ?1个元素与a1组成的，共有Cnm?1个；不含有a1的
m组合是从a2,a3,?,an?1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计数
原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
12 / 56
相关推荐：
loading