选修2-3 [键入文字] 排列组合与二项式定理
有C44种，b4的系数是C44，
132223344∴(a?b)4?C40a4?C4ab?C4ab?C4ab?C4b．
二、讲解新课：
1nrn?rrnn?1、二项式定理：(a?b)n?Cn0an?Cnab???Cnab???Cnb(n?N)
2、二项式定理的证明。
（a+b）n是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时，有两种选择，选a或b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；对于每一项akbn-k，它是由k个（a+b）选了a，n-k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。
r3、它有n?1项，各项的系数Cn(r?0,1,?n)叫二项式系数，
4、Cnarn?rb叫二项展开式的通项，用Tr?1表示，即通项Tr?1?Cnarrn?rb．
rn1rrn5、二项式定理中，设a?1,b?x，则(1?x)?1?Cnx???Cnx???x
三、例子 例1．展开(1?解一： (1?解二：(1?111x)．
4144641411112313)?1?C4()?C4()?C4()?()?1??2?3?4． xxxxxxxxx141444413123)?()(x?1)?()?x?C4x?C4x?C4x?1??? xxx?1?4x?6x62?4x3?1x4．
例2．展开(2x?1x)．
解：(2x?1x)?61x3(2x?1)
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?1615243(2x)3?C221x3[(2x)?C6(2x)?C6(2x)?C66(2x)?C6(2x)?1]
?64x3?192x2?240x?160?601x?12x2?x3．
例3．求(x?a)12的展开式中的倒数第4项 解：(x?a)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，
T993399?1?C12x12?9a?C12xa?220x3a9．
例4．求（1）(2a?3b)6，（2）(3b?2a)6的展开式中的第3项． 解：（1）T22?1?C6(2a)4(3b)2?2160a4b2，
（2）T?C242422?16(3b)(2a)?4860ba．
点评：(2a?3b)6，(3b?2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同 例5．（1）求(x33?x)9的展开式常数项；
（2）求(x393?x)的展开式的中间两项 解：∵Trx9?rrrr?1?C9(3)(3x)?C?32r?9r9x9?32，
∴（1）当9?32r?0,r?6时展开式是常数项，即常数项为T637?C9?3?2268；（2）(x?33x)9的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，
T48?91210?9?15235?C9?3x9??42x3，T6?C59?3x9?378x 课堂小节：本节课学习了二项式定理及二项式展开式的通项公式 课堂练习： 课后作业：
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1.3.2杨辉三角
教学目标：
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用 教学重点：
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用 教学过程
一、复习引入： 1．二项式定理
(a?b)?Cna?Cnab???Cnan0n1nrn?rb???Cnb(n?N)，
rnn?2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnran?rbr
二、讲解新课：
119二项式系数表（杨辉三角）
(a?b)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3?时，二项式系数
n表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质：
mn?m（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn?Cn）．
（2）增减性与最大值．∵Cn?∴Cn相对于Cn当k?n?12kk?1kn(n?1)(n?2)?(n?k?1)k!n?k?1kn?k?1k?Cnk?1?n?k?1kn?12，
的增减情况由决定，?1?k?，
时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间
取得最大值；
n2nn?12n?1当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn大值．
（3）各二项式系数和：
n1rrn∵(1?x)?1?Cnx???Cnx???x，
，Cn2取得最
n012rn令x?1，则2?Cn?Cn?Cn???Cn???Cn 三、例子
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例1．在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 1nrn?rrnn?证明：在展开式(a?b)n?Cn0an?Cnab???Cnab???Cnb(n?N)中，令
a?1,b??1，则(1?1)?Cn?Cn?Cn?Cn???(?1)Cn，
13即0?(Cn0?Cn2??)?(Cn?Cn??)，
n0123nn13∴Cn0?Cn2???Cn?Cn??，
即在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
13n?1说明：由性质（3）及例1知Cn0?Cn2???Cn?Cn???2.
727例2．已知(1?2x)?a0?a1x?a2x???a7x，求：
（1）a1?a2???a7； （2）a1?a3?a5?a7； （3）|a0|?|a1|???|a7|. 解：（1）当x?1时，(1?2x)7?(1?2)7??1，展开式右边为
a0?a1?a2???a7
∴a0?a1?a2???a7??1，
当x?0时，a0?1，∴a1?a2???a7??1?1??2， （2）令x?1， a0?a1?a2???a7??1 ①
7令x??1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?3 ②
①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??71?327.
（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，
7∴由（2）中①+② 得：2(a0?a2?a4?a6)??1?3，
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