15．解：连接OA，作OG⊥AB于G， ∵AB＝6分米， ∴AG＝AB＝3分米， ∵油槽直径MN为10分米． ∴OA＝5分米，
∴OG═4分米，即弦AB的弦心距是4分米， 同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米， ∴当油面没超过圆心O时，油上升了1分米，即10cm； 当油面超过圆心O时，油上升了7分米，即70cm． 故答案为：10cm或70cm．
16．解：连接AB，
∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F， ∴AE＝PE，PF＝BF， ∴EF是△APB的中位线， ∴EF∥AB，EF＝AB＝故答案为： a．
，
17．解：如图：连接OD、OB，
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴OD⊥BC，OD＝OB，∠OBD＝30°． ∵E点是OP的中点， ∴OEOP， ∵OB＝OP， ∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝α， ∴∠EOD＝180°﹣2α．
因为四边形DOEB内角和为360°，
∴∠BED＝360°﹣90°﹣60°﹣（180﹣2α）﹣α＝30°+α， ∠EOB＝180°﹣30°﹣（30+2α）＝120﹣2α． ∵OB＝OP，
∴∠P＝∠OBP＝（180°﹣∠POB）＝（180﹣120+2α）＝30°+α． ∴∠PBC＝∠OBP+∠OBC＝30°+α+30°＝60°+α． 故答案为60°+α．
18．解：∵△A1A2B1是等边三角形，内切圆半径为1， ∴△A1A2B1的边长为
，
∵∠A1OB1＝30°，∠B1A1A2＝∠A1OB1+∠A1B1O＝60°， ∴∠A1OB1＝∠OB1A1 ∴OA1＝A1B1＝A1A2＝
，
，OA3＝A3B3＝A3A4＝4
×4
， ＝22，…，
同法可证OA2＝A2B2＝A2A3＝2∴⊙O2的半径＝
×
＝2，⊙O3的半径为
由此可知⊙On的半径为2n﹣1， 故答案为2n﹣1 三．解答题（共5小题）
19．证明：（1）连接OB、OC，
∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠1＝∠2， ∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB， ∵AB＝AC，AO平分∠BAC， ∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2， 可得：
解得：x＝5，OE＝3， ∴半径OA的长＝5．
20．解：（1）∵DF∥AB，CD⊥AB， ∴∠EDF＝∠ECB＝90°， ∴EF为⊙O的直径，
∵点C为半径OA的上的中点， ∴OC＝
，
，x2＝OE2+42
∴∠E＝30°， ∴∠DAF＝∠E＝30°； （2）连接OD， 则∠DOF＝2∠E＝60°， ∵DF∥AB，
∴S△ADF＝S△DOF， ∴S阴影＝S扇形， ∵OD＝AB＝5， ∴弦AD，AF和
所围成的图形的面积＝
＝
π．
21．解：（1）∵CF与⊙E切于F点， ∴EF⊥CF， ∵AE＝x，AD＝4， ∴DE＝4﹣x，
∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD＝4，∠ADC＝90°， ∴CE2＝DE2+CD2＝（4﹣x）2+16， 在Rt△EFC中，CF2＝CE2﹣EF2，
∴y＝（4﹣x）2+16﹣x2＝32﹣8x（0＜x＜4）； （2）∵FG把△CEF的面积分成1：2两部分， ∴EG＝EC，或EG＝EC， ∴x＝
，或x＝
∴x＝±﹣，或x＝
∵0＜x＜4， ∴x＝
，或x＝
．
22．证明：（1）在PC上截取PD＝AP，如图， 又∵∠APC＝60°， ∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°． 又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB， 在△APB和△ADC中，
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