研究在线性关系相关性条件下，两个或者两个以上自变量对一个因变量，为多元线 性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。多元线性回归模 型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似，只是在计算上为 复杂需借助计算机来完成。
计算公式如下：
设随机y与一般变量X1,X2,L Xk的线性回归模型为：
其中°, 1,L k是k 1个未知参数，°称为回归常数， 「L k称为回归系 数；y称为被解释变量；x1, X2,L xk是k个可以精确可控制的一般变量，称为解释变 量。
当P 1时，上式即为一元线性回归模型，k 2时，上式就叫做多元形多元回归 模型。 是随机误差，与一元线性回归一样，通常假设
同样，多元线性总体回归方程为 y °
1
x1
2
x2 L kxk
系数1表示在其他自变量不变的情况下，自变量 乂［变动到一个单位时引起的因变 量y的平均单位。其他回归系数的含义相似，从集合意义上来说，多元回归是多维空间 上的一个平面。
多元线性样本回归方程为：? ?° ?1x1 ?2x2 L
?kxk
：
多元线性回归方程中回归系数的估计同样可以采用最小二乘法。由残差平方和
SSE (y ?) 0
根据微积分中求极小值得原理，可知残差平方和 SSE存在极小值。欲使SSE达到 最小，SSE对
丄
将SSE对 °1丄
, SSE
°1
,
k
的偏导数必须为零。
求偏导数，并令其等于零，加以整理后可得到 k 1各方程
k
式：
i
——
2 (y ?) °
°, 1,L k的估计值，彳，?…?k回归
通过求解这一方程组便可分别得到
系数的估计值，当自变量个数较多时，计算十分复杂，必须依靠计算机独立完成。现 在，利
用SPSS，只要将数据输入，并指定因变量和相应的自变量，立刻就能得到结 果。
对多元线性回归，也需要测定方程的拟合程度、检验回归方程和回归系数的显着 性。
测定多元线性回归的拟合度程度，与一元线性回归中的判定系数类似，使用多重判 定系数，其中定义为：
式中，SSR为回归平方和，SSE为残差平方和，SST为总离差平方和。
同一元线性回归相类似，0 R2
1，R2越接近1，回归平面拟合程度越高，反之，
R2越接近0,拟合程度越低。R2的平方根成为负相关系数(R)，也成为多重相关系数。 它表示因变量y与所有自变量全体之间线性相关程度，实际反映的是样本数据与预测数 据间的相关
2
程度。判定系数R的大小受到自变量x的个数k的影响。在实际回归分析中 可以看到，随着自变量x个数的增加，回归平方和(SSR)增大，是R2增大。由于增加自 变量个数引起的R2增大与你和好坏无关，因此在自变量个数 k不同的回归方程之间比较 拟合程度时，R2不是一个合适的指标，必须加以修正或调整。
调整方法为：把残差平方和与总离差平方和纸币的分子分母分别除以各自的自由 度，变成均方差之比，以剔除自变量个数对拟合优度的影响。调整的
2
R为：
2
由上时可以看出，R考虑的是平均的残差平方和，而不是残差平方和，因此，一
2
般在线性回归分析中，R越大越好。
从F统计量看也可以反映出回归方程的拟合程度。将 F统计量的公式与R2的公式 作一结合转换，可得：
可见，如果回归方程的拟合度高，F统计量就越显着；F统计量两月显着，回归方 程的拟合优度也越高。
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