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【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】（1）根据余角的性质得到∠CAD=∠DAB，推出∠BAD=∠BDE，得到△BED∽△BDA，由相似三角形的性质得到BD2=BE?BA，即可得到结论；
（2）由余角的性质得到∠ADE=∠AED，根据余角的性质得到论．
【解答】解：（1）∵DE⊥AD， ∴∠BDE=∠CAD=90°﹣∠CDA， ∵∠CAD=∠DAB， ∴∠BAD=∠BDE， ∵∠B=∠B， ∴△BED∽△BDA， ∴BD2=BE?BA， ∵AB=4，∴BE=1， ∴BD2=1×4=4， ∴BD=2；
（2），∵DE⊥AD， ∴∠AED=90°﹣∠DAE， ∵∠ADE=90°﹣∠CAD， ∵∠CAD=∠DAB， ∴∠ADE=∠AED， ∵△BED∽△BDA， ∴
，
==2．
，
，根据三角形函数的定义即可得到结
∴tan∠ADE=tan∠AED=
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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22．今年3月5日，某中学组织六、七年级200位学生参与了“走出校门，服务社会”的活动，该校某数学学习小组的同学对那天参与打扫街道、敬老院服务和社区文艺演出的三组人数进行分别统计，部分数据如图所示：
（1）参与社区文艺演出的学生人数是 50 人，参与敬老院服务的学生人数是 60 人；
（2）该数学学习小组的同学还发现，六、七年级参与打扫街道的学生人数分别比参与敬老院服务的学生人数多了40%和60%，求参与敬老院服务的六、七年级学生分别有多少人？
【考点】扇形统计图．
【分析】（1）用学生总数乘以参与社区文艺演出的学生所占百分比得到参与社区文艺演出的学生人数；用学生总数分别减去打扫街道、社区文艺演出的人数得到参与敬老院服务的学生人数；
（2）设六年级参与敬老院服务的学生有x人，则七年级参与敬老院服务的学生有（60﹣x）人，根据六、七年级参与打扫街道总人数为90人列出方程求解可得．
【解答】解：（1）参与社区文艺演出的学生人数是：200×25%=50人， 参与敬老院服务的学生人数是：200﹣90﹣50=60人；
（2）设六年级参与敬老院服务的学生有x人，则七年级参与敬老院服务的学生有（60﹣x）人， 根据题意，得：（1+40%）x+（1+60%）（60﹣x）=90， 解得：x=30，
答：六年级参与敬老院服务的学生有30人，则七年级参与敬老院服务的学生有30人．
【点评】本题主要考查读扇形统计图和列方程解决实际问题的能力，根据扇形统计图读出有用信息依据计算公式计算是基础，抓住相等关系列方程解决实际问题是关键．
23．已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且∠BCE=∠ACD，联结CE．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形； （2）求证：AC2=AD?AE．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定． 【专题】证明题．
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【分析】（1）由等腰梯形的性质得出∠ADC=∠BCD，由SAS证明△ADC≌△BCD，得出∠ACD=∠BDC，由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BCE=∠CBD，证出BD∥CE，即可得出结论； （2）证出CE=AC，证明△EAC∽△EBC，得出对应边成比例【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC， ∴∠ADC=∠BCD， 在△ADC和△BCD中，
，
∴△ADC≌△BCD（SAS）， ∴∠ACD=∠BDC， ∵BC=DC， ∴∠CBD=∠BDC， ∴∠CBD=∠ACD， ∵∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE=∠CBD， ∴BD∥CE， 又∵DC∥AB，
∴四边形DBEC是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形DBEC是平行四边形， ∴∠E=∠BDC， ∵DC∥AB， ∴∠BAC=∠ACD， ∵∠BCE=∠ACD， ∴∠BAC=∠BCE=∠E， ∴CE=AC， 又∵∠B=∠B， ∴△EAC∽△EBC， ∴即
， ，
，即可得出结论．
∴AC2=AD?AE．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．
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24．已知在平面直角坐标系xOy0），（如图）中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（3，与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E． （1）求该抛物线的解析式；
（2）连结BC，当P点坐标为（0，）时，求△EBC的面积； （3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A、C点的坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）由∠APO、∠AED均匀∠PAO互余得出∠APO=∠AED，再结合∠AOP=∠BOE=90°可得出△AOP∽△BOE，由相似三角形的性质得出
，代入数据可得出OE的长度，结合C点坐标可得出CE
长度，将CE、OB的长度代入三角形的面积公式，即可得出结论；
（3）令对称轴与x轴的交点为H，过点B作BF⊥直线x=1于点F，先证△ADH∽△DBF，再由相似三角形的性质找出
，设DH=a，由此可得出关于a的一元二次方程，解方程可求出a的值，再根据
可得出OP的长度，从而得出P点的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点C（3，0）的坐标代入抛物线解析式，得：
．
，
解得：
故该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． （2）∵BD⊥AD， ∴∠ADE=90°，
∴∠PAO+∠APO=∠PAO+∠AED=90°， ∴∠APO=∠AED=∠BEO， 又∵∠AOP=∠BOE=90°， ∴△AOP∽△BOE， ∴
．
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