2010年考研数学三真题及答案

2010年考研数学三真题 一.选择题

1.若lim[?(?a)e]?1则a=

x?o1x1xxA0 B1 C2 D3

2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?,?使

?y1??y2是该方程的解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则

1111,?? B???,??? 22222122C??,?? D??,??

3333A??3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g??(x)?0.若g(x0)?a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是

Af?(a)?0 Bf?(a)?0 Cf??(a)?0 Df??(a)?0 4设f(x)?lnx,g(x)?x,h(x)?e则当x充分大时有 Ag(x)

5设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组II：?1，?2，?，?s线性表示，下列命题正确的是： A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s 6.设A为4阶实对称矩阵，且A?A?0，若A的秩为3，则A相似于

210x10?1??1??????1??1?A? B ???1?1???????0?0?????1???1??????1?1????C? D ????1?1???????0?0?????0,x?0?17.设随机变量X的分布函数F(x)??,0?x?1，则P（X=1)=

?2?x?1?e,x?111?1?1A0 B C?e D1?e

228.设f1(x)为标准正态分布概率密度，f2(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若

?af(x),x?0f(x)??1(a?0,b?0)为概率密度，则a,b满足：

?bf2(x),x?0A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题

9.设可导函数y=y(x),由方程10.设位于曲线y??x?y0edt??xsint2dt确定，则

0?t2xdydxx?0?____________

1x(1?lnx)2(e?x???)下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x

轴旋转一周所得空间区域的体积为____________

11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为1?p，其中p为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________

12.若曲线y?x?ax?bx?1有拐点(-1,0),则b=_____________

?1?113.设A，B为3阶矩阵，且A?3,B?2,A?B?2，则A?B?_________

332 14.设

1n2X1,X2,?X3是来自总体N(?,?)(??0)的简单随机样本。记统计量T??Xi,ni?1 则ET?___________2三.解答题

15.求极限lim(x?1)x???1x1lnx

16.计算二重积分

23x?1?y，其中D由曲线与直线(x?y)dxdy??Dx?2y?0及x?2y?0围成。

17.求函数u=xy+2yz在约束条件x?y?z?10下的最大值和最小值。 18. （1）比较

222?10lnt?ln(1?t)?dt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小，说明理由。

0n1（2）记un?19.设

?10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?),求极限limun.

nn??f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

22f(0)??f(x)dx?f(2)?f(3)

0（1）证明：存在??(0,2),使f(?)?f(0); （2）证明：存在??(0,3),使f??(?)?0 20

11????a?????设A??0??10?,b??1?.已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解。?1?1?1??????.1 （）求?、a.(2)求方程组Ax?b的通解。?0?14???21.设A???13a?，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为

?4a0???1(1,2,1)T，求a、Q. 622.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?Ae求常数A及条件概率密度fYX(yx).

23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。 （1）求随机变量（X,Y）的概率分布； （2）求Cov（X,Y）.

答案：CABC ADCA

13(p?1)?2229.-1 10. 11 pe3 12.3 13.3 14.???

4?2x2?2xy?y2,???x???,???y???三解答题 15.解：

?limln(e?1)xe1?lnxlnx?limlnx?,而当x???,?0,2x??x??lnxxxex?1ln(e?1)e1?lnx1?lnx?lim??lim??1x???x???x???lnxlnxxlnxx1x1lnxlnxxlnxxlnxx故limlnxx?lim(x?1)x????e?1

16.解:

原式???(x3?3xy2?3x2y?y3)dxdy???(x3?3xy2)dxdyDD?2?dy?011?y22y(x3?3xy2)dx?1112424(1?2y?3y)dy?3(y?y)dy ??002?1415解

：

17.

设F(x,y,z,?)?xy?2yz??(x2?y2?z2?10)Fx??y?2?x?0??F??x?2z?2?y?0?令?y,最可能的最值点?F?2y?2?z?0z?222??F???x?y?z?10?0A(1,5,2),B(?1,5,?2),C(1,?5,2),D(?1,?5,?2),E(22,0,?2),F(?22,0,2). 因为在A,D两处u?55;在B,C两点处u?-55；在E,F两点处u?0。所以umax?55，umin?-5518.

解：(1)当0?t?1,?ln(1?t)?t,?lnt[ln(1?t)]n?tnlnt,n因此，?lnt[ln(1?t)]dt??tlntdt.001n1(2)由(1)知0?un??lnt[ln(1?t)]dt??tnlntdt.001n1

11n1??tlntdt???tlntdt?tdt?00n?1?0(n?1)21n1n?lim?tnlntdt?0,从而limun?0n??0n??119.

证：(1)设F(x)??f(t)dt(0?x?2),则?f(x)dx?F(2)?F(0).00x2根据拉格朗日中值定理，存在??（0，2），使F(2)?F(0)?2F?(?)?2f(?),即?f(x)dx?2f(?)由题设知?f(x)dx?2f(0),故f(?)?f(0).0022f(2)?f(3)介于f(x)在[2,3]上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理，2f(2)?f(3)存在??[2,3],使f(?)?.2f(2)?f(3)由题设知?f(0),故f(?)?f(0).2由于f(0)?f(?)?f(?),且0?????3,根据罗尔定理，存在?1?（0，?），(2)?2?（?，?），使f?(?1)?0,f?(?2)?0,从而存在??（?1,?2)?(0,3),使得f??(?)?0