第一讲
1、 绝对值
数与式
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
a, a 0,
| a | 0,
a a, a
0, 0.
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
（3）两个数的差的绝对值的几何意义： 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式 ① f (x) ② f (x) ③ f (x)
a b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离．
a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 g ( x)
f ( x) g 2 (x) 。
2
a f ( x) a 。
f (x) a或 f ( x) a 。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：
①找到使多个绝对值等于零的点．
②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地 ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例 1. 求不等式
n 个零点把数轴分为 n＋ 1 段进行讨论．
3x 5 4 的解集
例 2. 求不等式
2x 1 5的解集
例 3. 求不等式
x 3 x 2 的解集
例 4. 求不等式 | x＋ 2| ＋ | x－ 1| ＞ 3 的解集．
1
例 5. 解不等式 | x－ 1| ＋ |2 －x| ＞ 3－ x．
例 6. 已知关于 x 的不等式 | x－ 5| ＋ | x－3| ＜ a 有解 ，求 a 的取值范围．
练习
解下列含有绝对值的不等式：
（1） x
1 x 3 ＞4+x
（ 2） | x+1|<| x－2| （ 3） | x－ 1|+|2 x+1|<4 （ 4） 3x 2 7 (5)
5x 7 8
3、因式分解 乘法公式
（ 1）平方差公式 （ 2）完全平方公式 （ 3）立方和公式 （ 4）立方差公式 （ 5）三数和平方公式 （ 6）两数和立方公式
( a b)( a b) a2
b
2
( a b)
2
a
2
2ab b
2
( a b)(a2
ab b2 ) a3
b3
( a b)(a
2
ab b2 ) a3 b
3
( a b c)2
a
2
b2
c2
2(ab bc ac)( a b)
3
a3
3a2b 3ab2
b
3
2
（ 7）两数差立方公式
(a
b)
3
a3 3a2b 3ab2 b3
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例 1
分解因式：
（ 1） x2－3x＋ 2；
（ 2） 6x
2
7 x 2
（ 3） x
2
(a b) xy aby2
； （ 4） xy 1 x
y ．
2．提取公因式法
例 2. 分解因式：
（ 1） a2
b 5 a 5 b
（ 2） x
3
9 3x
2
3x
3．公式法
例 3. 分解因式：
（1） a
4
16
（ 2） 3x 2 y
2
x y
2
4．分组分解法
例 4. （ 1） x
2
xy 3y 3x （ 2） 2x
2
xy y2
4x 5y 6
5．关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c( a≠ 0) 的因式分解．
若关于 x 的方程 ax2
bx c
0(a 0) 的两个实数根是
x1 、 x2 ，则二次三项式解为
a( x x1 )( x x2 ) .
例 5. 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） x
2
2x 1；
（ 2） x
2
4xy
4 y
2
．
3
2
bx c(a
0) 就可分
ax
练习 （1） x
2
5x 6
2
（ 2） x
2
a 1 x
7x 6x
a
（ 3） x
2
11x 18
2
（4） 4m
12m 9 （5） 5
2
（6） 12x
3
xy 6 y
2
（ 7 ） 6 2 p （10） x
q 2
2
11 q 2 p 3
（ 11） x2
（ 8 ） a5a b 6ab
22
（ 9 ） 4 x
2
2
4x 2
4
2 x1
2
y
2
a
2
b
2
2ax 2by
4 （12） 2 4
a ab b
（14） a
6 12 a b
9
x2 －2x－ 1
(13)
3
1；
（ 15） 4x4
13x
2
9 ；
（16） b
2
c 2ab 2ac 2bc ；
2
（ 17） 3x第二讲
2
5xy 2 y x 9 y 4
一元二次方程与二次函数的关系
2
1、一元二次方程
(1) 根的判别式 对于一元二次方程
（ 1） 当
ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠ 0），有 :
＞0 时，方程有两个不相等的实数根
x
1
＝
1， 2
b b
2
4ac ；
2
2a
（ 2）当
＝ 0 时，方程有两个相等的实数根
x ＝ x ＝－
b ； 2a
（ 3）当 ＜ 0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）
如果 ax＋ bx＋ c＝ 0（ a≠ 0）的两根分别是 x1， x2，那么 x1＋ x2＝
2
b
a
，x1·x2＝
．这一关系也被称为韦达
a
c
定理．
2、二次函数 y ax bx c 的性质
2
1. 当 a
0 时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b ，顶点坐标为
b ，4ac b 2a
2
。
时，y 有最小值
2a 4a b 2 a
当 x
b 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x 2a b 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x 2a
4ac b2 4a
。
4
相关推荐：
loading