2. 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为
x
b ，顶点坐标为
b ，4ac b2a
2
b
。当 x
时， y 随
2a 4 a 2a
b
x 的增大而增大；当
x
时， y 随 x 的增大而减小；当
b
x
时， y 有最大值
4ac
b
2
2a 2a
4a
.
3、二次函数与一元二次方程：
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 一元二次方程 ax
2
x 轴交点情况） ：
ax
2
bx c
0 是二次函数 y
bx c 当函数值 y
0 时的特殊情况 .
图象与 x 轴的交点个数： ① 当
b2 4 ac
0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1 ，0 ，B x2 ，0 (x1
2
x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程
ax
2
bx c 0 a
0 的两根。这两点间的距离
AB
x2 x1
b
4ac . a
② 当 ③ 当
0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 0 时，图象与 x 轴没有交点 .
1' 当 a 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有
y 0 ； 0 。
2' 当 a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y
2x2＋ 5x－3＝ 0 的两根．
例 1. 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程
（ 1）求 | x 1－ x2| 的值；
（2）求
1
1
3 1
＋x2 ．
3
x1
2
x2 2 的值；（ 3） x
例2.函数 Ａ．0个 例 3.关于
y mx
2
x 2m （ m 是常数）的图像与 x 轴的交点个数为（
Ｃ．2 个
）
Ｂ． 1个 Ｄ．1个或 2个
x 的方程 mx
2
mx 5 m 有两个相等的实数根，则相应二次函数
．
y
mx2
mx 5 m 与 x 轴
必然相交于
点，此时 m
2例 4 . 抛物线 y x (2m 经过原点，应将它向右平移 例 5. 关于 x 的二次函数 y
1)x 6m 与 轴交于两点 ( x1，0) 和 (x2，0) ，若 x1x2 x1 x2 49 ，要使抛物线
x个单位．
2mx2
(8m 1)x 8m 的图像与 x 轴有交点，则 m 的范围是（ ）
1
Ａ． m
Ｂ． m≥ 1
16
且 m 0 Ｃ． m
1
1 Ｄ． m
16
5
且 m 0
16 16
练习
1. 一元二次方程 ax＋bx＋ c＝ 0（a≠ 0）的两根为 x1 和 x2．求： （1） | x － x | 和 x1 x2
2
；（ 2） x
1 2
2
3 1
＋ x 3
2
．
2. 如图所示，函数 3. 已知抛物线 y 纵坐标为
y (k 2) xax
12
2
7 x ( k 5) 的图像与 x 轴只有一个交点，则交点的横坐标x0
．
bx c 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A( x1，0) ， B(x2，0)( x1 x2 ) 两点，顶点 M 的
22
4 ，若 x ， x 是方程 x2
2(m 1)x m
2
7 0
的两根，且 x1
2
x2
2
10 ．
（ 1）求 A ， B 两点坐标； （ 2）求抛物线表达式及点 C 坐标； 4. 若二次函数 y
ax
c ，当 x 取 x 、 x （ x
1
2
1
x ）时，函数值相等，则当
2
x 取 x
1
x 时，函数值为
2
（ Ａ． a
）
c
Ｂ． a c
Ｃ．
c Ｄ． c
5、已知二次函数 y
1 x2 2
bx c ，关于 x 的一元二次方程
1 x2 bx c
2
0 的两个实根是
1和 5，
则这个二次函数的解析式为
第三讲
一元二次不等式的解法
1、定义：形如
2
+ + ＞0（ ＞ 0）（或
2
+ + ＜0（ ＞ 0））的不等式
ax bx ca
做关于 x 的一元二次不等式。
、一元二次不等式的一般形式：
ax bx ca
2
ax2+bx+c＞0（ a＞ 0）或 ax2+bx+c＜ 0（ a＞ 0）
3
、一元二次不等式的解集： =b2 -4 ac
＞ 0 y
=0
y
＜ 0
y
y ax bx c
= 2+ + ＞ 0
x
x1 O
x2
O x1 (x2)
x
（ a＞ 0）的图象
O
x
6
ax+bx+c=0
2
x =
1
b
b2
4ac
（ a＞ 0）的根
x2=
b
2a
2
x1= x 2=-
b
没有实数根
b 4ac 2a
2a
ax+bx+c＞ 0
（ a＞ 0）的解集
2
x＜ x1 或 x＞ x2
x≠ -
（ x1＜ x2）
b
全体实数
2a
ax2+bx+c＜ 0
（ a＞ 0）的解集
x1＜ x＜ x2
无解
（ x1＜ x2）
无解
4、解一元二次不等式的一般步骤：
（ 1）将原不等式化成一般形式
2
+ + ＞0（ ＞0）（或
2
+ + ＜ 0（ ＞ 0））；
ax bx ca
=b2-4 ac；
ax bx c
a
（2）计算 （3）如果
≥ 0，求方程 ax2+bx+c=0（ a＞ 0）的根；若 ＜0，方程 ax2+bx+c=0（ a＞ 0）没有实数根；
（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。
例 1. 解下列不等式：
（1） 4x2-4 x＞ 15；
（ 2） - x2-2 x+3＞ 0； （ 3） 4x2-4 x+1＜ 0
例 2. 自变量 x 在什么范围取值时，函数
y=-3 x2+12x-12 的值等于 0？大于 0？小于 0？
7
例 3. 若关于 x 的方程 x2- （ m+1）x- m=0 有两个不相等的实数根，求
m的取值范围。
练习
1. 解下列不等式：
（1） 4x2-4 x＜ 15；
2
（ 2） - x2-2 x+3＜ 0；
2
（ 3） 4x2-4 x+1＞ 0
（ 5） x（ 1- x）＞ x（2x-3 ） +10
（3） 4x -20 x＜ 25； （ 4） -3 x +5x-4 ＞ 0；
8
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