2020年中考数学复习专题练：《一次函数综合 》
1．如图，直线
与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，沿BA方向向点A匀速运动，P，Q两点的运动速度都是每秒1个单位，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）． （1）求A，B两点的坐标； （2）当t为何值时△AQP的面积为
；
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．
2．已知直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，四边形OBCD的面积为36． （1）求直线AB的解析式；
（2）点P为线段OD上一点，连接CP，点H为CP上一点，连接BH，且BH＝BC，过点H作CP的垂线交CD、OB于E、F，连接AE、AC，设点P的横坐标为t，△ACE的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，连接OH，过点F作FK⊥OH交x轴于点K，若PD＝PK，求点P的坐标．
3．如图，已知直线y＝kx+2与x轴、y轴分别相交于点A、点B，∠BAO＝30°，若将△AOB沿直钱
CD折叠，使点A与点B重合，折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）求直线CD的表达式．
4．如图1，在平面直角坐标系中，OB＝10，F是y轴正半轴上一点． （1）若OF＝2，求直线BF的解析式；
（2）设OF＝t，△OBF的面积为s，求s与t的函数关系（直接写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BA⊥x轴，点C在x轴上，OF＝OC，连接AC，CD⊥直线
BF于点D，∠ACB＝2∠CBD，AC＝13，OF＝OC，AC．BD交于点E，求此时t的值．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（﹣3，﹣1），将线段AB向右平移m（m＞0）个单位，点A、B的对应点分别为点A′，B′． （1）画出线段AB，当m＝4时，点B′的坐标是 ； （2）如果点B′又在直线x＝上，求此时A′、B′两点的坐标；
（3）在第（2）题的条件下，在第一象限中是否存在这样的点P，使得△A′B′P是以A′B′为腰的等腰直角三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，试说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C． （1）求点D的坐标；
（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；
（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，求点
F的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，顶点B的坐标为（12，8），直线y＝kx+8﹣6k（k＜0）交边AB于点P，交边BC于点
Q．
（1）当k＝﹣1时，求点P，Q的坐标；
（2）若直线PQ∥AC，BH是Rt△BPQ斜边PQ上的高，求BH的长； （3）若PQ平分∠OPB，求k的值．
8．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，点E是点B以Q为对称中心的对称点，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连结PQ，设P，Q两点运动时间为t秒（0＜t≤1.5）． （1）直接写出A，B两点的坐标． （2）当t为何值时，PQ∥OB？
（3）四边形PQBO面积能否是△ABO面积的；若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，△APQ为直角三角形？（直接写出结果）
9．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝
，
y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）
是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T （x，y）是点D和E的融合点．
（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为 ； （2）求点T （x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：
（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
10．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+8（k＜0）分别交x轴，y轴于点C，
B，点A在第一象限，连接AB，AC，四边形ABOC是正方形．
（1）如图1，求直线BC的解析式；
（2）如图2，点D，E分别在AB，OC上，点E关于y轴的对称点为点F，点G在EF上，且EG＝2FG，连接DE，DG，设点G的横坐标为t，△DEG的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，BF，CD，点M在BF上，且FM＝EG，点N在BE上，连接MN交DG于点H，∠BNM＝∠BEF，且MH＝NH，若CD＝5BD，求S的值．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，4），与直线l2：y＝x相交于点C． （1）求直线l1的函数表达式； （2）求△COB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△POC是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．
12．如图，直线y＝
x+4与x轴．y轴分别交于A．B两点直线BC与x轴交于点C（4，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）D（2，m）为线段BC上的点，作点D关于直线上x＝﹣4的对称点E．CE交直线：x＝﹣4于F，求线段CF的长；
（3）y轴上是否存在一点M．使得以A、B、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．将矩形AOCB如图放置在平面直角坐标系中，E为边OC上的一个动点，过点E作ED⊥AE交BC边于点D，且OA，OC的长是方程x2﹣20x+96＝0的两个实数根，且OC＞OA． （1）设OE＝x，CD＝y，求y与x的函数关系（不求x的取值范围）． （2）当D为BC的中点时，求直线AE的解析式；
（3）在（2）的条件下，平面内是否存在点F，使得以A，D，B，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，直线y＝ax+b交x轴于点A，交y轴于点B，且a，b满足a＝﹣4k过定点C，点D为直线y＝kx﹣4k上一点，∠DAB＝45°． （1）a＝ ，b＝ ，C坐标为 ； （2）如图1，k＝﹣1时，求点D的坐标；
+4，直线y＝kx（3）如图2，在（2）的条件下，点M是直线y＝kx﹣4k上一点，连接AM，将AM绕A顺时针旋转90°得AQ，OQ最小值为 ．
15．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x交于点C． （1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1． ①求点C的坐标；
②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．
16．如图1，在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB＝4，AD＝3．点Q从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿B→C→D运动，当点Q到达点D时，点Q停止运动，设点Q运动的时间为t秒．
（1）请直接写出图1中，点C的坐标，并求出直线OC的表达式； （2）求△ACQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图2，当点Q开始运动时，点P从C点出发以每秒2个单位长度的速度运动向点A运动，当点P到达A点时点Q和点P同时停止运动，当△QCP与△ABC相似时，求出相应的t值．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，B的坐标；
（2）点P从B点出发，沿射线BO方向运动，速度为每秒一个单位，当t为何值时，△ABP为直角三角形？（直接写出答案）
（3）点E（5，0）过点E作直线l⊥x轴，点C在直线l上，点D在x轴上，以A、B、C、D四个点组成的四边形是平行四边形，请直接写出点D坐标．
18．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）请直接写出点A坐标 ，点B坐标 ；
（2）点C是直线AB上一个动点，当△AOC的面积是△BOC的面积的2倍时，求点C的坐标； （3）点D为直线AB上的一个动点，在平面内找另一个点E，且以O、B、D、E为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的菱形的周长 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，△OAB的面积是2．
（1）求线段OB的中点C的坐标．
（2）连结AC，过点O作OE⊥AC于E，交AB于点D． ①直接写出点E的坐标．
②连结CD，求证：∠ECO＝∠DCB；
（3）点P为x轴上一动点，点Q为平面内一点，以点A、C、P、Q为顶点作菱形，直接写出点Q的坐标．
20．如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上．
（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是 ，OP所在的直线是 ，当点P在C点时，A′点的位置关系是 ，OP所在的直线表达式是 ． （2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式．
（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使△DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）令y＝0，则﹣x+6＝0， 解得：x＝8， 令x＝0时，y＝6，
∴点A（8，0），点B（0，6）； （2）由（1）得：OA＝8，OB＝6， 在Rt△AOB中，AB＝
＝
＝10，
∵当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动， ∴0＜t≤8，
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位， ∴AP＝t，
AQ＝AB﹣BQ＝10﹣t，
∴点Q到AP的距离为AQ?sin∠OAB＝（10﹣t）×∴△AQP的面积S＝×t×（10﹣t）＝解得t＝5+∴当t为（5﹣
（不合题意舍去）或t＝5﹣
）秒时△AQP的面积为
， ， ；
＝
，
＝（10﹣t），
（3）若∠APQ＝90°，则△APQ∽△AOB，此时即：＝解得：t＝
， ，
＝
若∠AQP＝90°，则△APQ∽△ABO，此时即：
＝
，
，
，
解得t＝
∵0＜t≤8， ∴t的值为①当t＝
或
，
＝
， ， ）；
时，OP＝8﹣
PQ＝AP?tan∠OAB＝
∴点Q的坐标为：（②当t＝
时，AQ＝
×＝，，
过点Q作QM⊥x轴于M，如图所示： ∴AM＝AQ?cos∠OAB＝则OM＝8﹣
＝
， ×
＝， ×
＝
，
QM＝AQ?sin∠OAB＝
∴点Q的坐标为：（综上所述，当t为分别为（
，
，）； 秒或
秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标，）．
）、（
2．解：（1）∵将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC， ∴OB＝BC，∠OBC＝90°， ∵CD⊥x轴于点D， ∴∠CDO＝90°， ∵∠BOD＝90°， ∴四边形OBCD为正方形，
∵四边形OBCD的面积为36． ∴OB＝6， ∴B（0，6），
∵直线y＝2x+b与y轴交于点B， ∴b＝6，
∴直线AB的解析式为y＝2x+6； （2）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A， ∴A（﹣3，0），
如图1，过点B作BL⊥CP，垂足为L，交CD于点M，
∵BH＝BC， ∴CL＝HL， ∵BL⊥CP，EF⊥CP， ∴BM∥EF， ∴CM＝ME，
∵∠CBM+∠BMC＝∠BMC+∠MCL＝90° ∴∠CBM＝∠PCD， ∵∠BCM＝∠PDC，BC＝CD， ∴△BCM≌△CDP（ASA）， ∴CM＝PD，
∴PD＝CM＝ME＝6﹣t， ∴CE＝2CM＝2（6﹣t）， ∵AD＝OA+OD＝9，
∴S＝
（3）设PD＝a，
＝＝﹣9t+54（0≤t≤6）；
如图2，∵BF∥CD，BM∥EF， ∴四边形BFEM是平行四边形， ∴BF＝EM＝PD＝a， ∴OF＝OP，
连接FP，设FK与OH交于A'，
∴∠OFP＝45°， ∵∠FOP+∠FHP＝180°， ∴F、O、P、H四点共圆， ∴∠OFP＝∠OHP＝45°， ∴∠OHF＝45°， ∵FK⊥OH， ∴∠FA'H＝90°， ∴∠EFK＝45°，
如图3，过点E作ER⊥EF交射线FK于点R，
∴△EFR为等腰直角三角形， ∴EF＝ER，
过点F作FG⊥CD于点G，过点R作x轴的平行线交y轴于点Q，交CD的延长线于点N，连接KE、 ∴∠RNE＝∠FGE＝90°，∠FEG＝∠ERN， ∴△EFG≌△REN（AAS）， ∴EN＝FG，EG＝RN＝PD＝a， ∵CG＝BF＝a，GE＝a， 设ED＝b，
∴DN＝CE＝2a＝OQ，OF＝a+b， ∵PD＝PK＝a，OD＝CD＝2a+b， ∴OK＝b， ∵OK∥QR， ∴
，即
，
∴b（3a+b）＝（a+b）2， ∴a＝b， ∴3a＝6， ∴a＝2， ∴P（4，0）．
3．解：（1）令x＝0，则y＝2由勾股定理得：OA＝6，
，即：OB＝2
，
则k＝﹣；
（2）设：BC＝AC＝a，则OC＝6﹣a， 在△BOC中，（2则点C（2，0）；
（3）点D时AB的中点，则点D（3，
），
，解得：
，
）2+（6﹣a）2＝a2，解得：a＝4，
将点C、D的坐标代入一次函数：y＝kx+b得：故直线CD的表达式为：y＝
x﹣2．
4．解：（1）∵OB＝10，OF＝2， ∴B（﹣10，0），F（0，2）， 设直线BF的解析式为y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点B（﹣10，0），F（0，2）， ∴
，
解得：，
∴直线BF的解析式为y＝x+2； （2）△OBF的面积为S＝
＝5t（t＞0）；
（3）如图，延长AB至点R，使BR＝AB，连接CR，延长CD交y轴于点T，过点T，作TM∥x轴交
BA的延长线于点M，
过点T作TK⊥CR交RC的延长线于点K，连接RT，
∵AB⊥BC，AB＝BR， ∴BC垂直平分AR， ∴AC＝CR＝13， ∴∠ACB＝∠RCB，
设∠CBD＝α，则∠ACB＝2α， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣α， ∵∠ACB＝∠RCB＝2α， ∴∠ACK＝180°﹣4α，
∴∠KCT＝∠BCK﹣∠BCD＝∠BCA+∠ACK﹣∠BCD＝90°﹣α， ∴∠KCT＝∠BCD， ∵TK⊥KR，OT⊥OC， ∴OT＝TK， ∵TC＝TC，
∴Rt△OTC≌Rt△KTC（HL）， ∴OC＝CK＝TK＝t，
∵OF＝OC，∠BOF＝∠TOC，∠FBO＝∠OTC， ∴△BOF≌△TOC（AAS）， ∴OB＝OT＝10，
∴TK＝10，
∵∠ABO+∠BOT＝90°+90°＝180°． ∴MB∥OT， ∵MT∥OB，
∴四边形OBMT为平行四边形， ∵OB＝OT，∠BOT＝90°． ∴四边形OBMT为正方形， ∴MB＝MT＝OT＝10， ∴MT＝TK， ∵RT＝RT，
∴Rt△RMT≌Rt△RTK（HL）， ∴RK＝RM＝CR+CK＝13+t， ∴BR＝RM﹣MB＝3+t， ∵BC＝OB+OC＝10+t， 在Rt△BRC中，BR2+BC2＝RC2， ∴（3+t）2+（10+t）2＝132， 解得：t＝2（t＝﹣15舍去）． ∴t的值为2．
5．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（﹣3，﹣个单位，
∴A'（m，1），B'（m﹣3，﹣1）， 当m＝4时，A'（4，1），B'（1，﹣1）， 故答案（1，﹣1）；
（2）由（1）知，B'（m﹣3，﹣1）， ∵点B′又在直线x＝上， ∴m﹣3＝，
1），将线段AB向右平移m（m＞0）
∴m＝6，
由（1）知，A'（m，1），B'（m﹣3，﹣1）， ∴A'（6，1），B'（3，﹣1）；
（3）存在，理由：如图，
由（2）知，A'（6，1），B'（3，﹣1），
过点B'作GH∥x轴，过点P作PG⊥GH于G，过点A'作A'H⊥GH于H， ∴H（6，﹣1）， ∴A'H＝2，B'H＝3，
∵△PA'B'是等腰直角三角形， ∴A'B'＝PB'，∠A'B'P＝90°， ∴∠PB'G+∠A'B'H＝90°， ∵∠PB'G+∠B'PG＝90°， ∴∠B'PG＝∠A'B'H， ∴△PB'G≌△A'B'H（AAS）， ∴B'G＝A'H＝2，PG＝B'H＝3， ∴P（1，2）， 同理：P'（4，4），
即：点P的坐标为（1，2）或（4，4）．
6．解：（1）∵直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D， ∴令y＝0，则3x﹣6＝0， ∴x＝2，
∴D（2，0）；
（2）如图1，
∵直线l1：y＝x+2与x轴交于点A， ∴令y＝0． ∴x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， 由（1）知，D（2，0）， ∴AD＝4，
联立直线l1，l2的解析式得，解得，
，
，
∴C（4，6），
∴S△ACD＝AD?|yC|＝×4×6＝12， ∵S△ACE＝S△ACD， ∴S△ACE＝12，
直线l1与y轴的交点记作点B， ∴B（0，2）， 设点E（0，m）， ∴BE＝|m﹣2|，
∴S△ACE＝BE?|xC﹣xA|＝|m﹣2|×|4+2|＝4|m﹣2|＝12， ∴m＝﹣2或m＝6，
∴点E（0，﹣2）或（0，6）；
（3）如图2，
①当点F在直线l1上方时，
∵以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等， ∴Ⅰ、当△APF'≌△APD时，连接DF'，BD， 由（2）知，B（0，2），
由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0）， ∴OB＝OA＝OD， ∴∠ABO＝∠DBO＝45°， ∴∠ABD＝90°， ∴DB⊥l1， ∵△APF'≌△APD， ∴PF'＝PD，AF'＝AD，
∴直线l1是线段DF'的垂直平分线， ∴点D，F'关于直线l1对称， ∴DF'⊥l1，
∴DF'过点B，且点B是DF'的中点， ∴F'（﹣2，4）， Ⅱ、当△PAF≌△APD时， ∴PF＝AD，∠APF＝∠PAD， ∴PF∥AD，
∵点D（2，0），A（﹣2，6）， ∴点D向左平移4个单位，
∴点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，6）， ∴F（﹣3，3），
②当点F在直线l1下方时， ∵△PAF''≌△APD， 由①Ⅱ知，△PAF≌△APD， ∴△PAF≌△PAF''， ∴AF＝AF''，PF＝PF''， ∴点F与点F'关于直线l1对称，
∴FF''⊥l1， ∵DF'⊥l1， ∴FF'∥DF'，
而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，
∴D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1）， ∴F''（1，﹣1），
即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）．
7．解：（1）当k＝﹣1时，该直线表达式为y＝﹣x+14，
∵四边形OABC是长方形，点P，Q分别在边AB，BC上，点B
12，8），
（
∴点P的横坐标为12，点Q的纵坐标为8， 当x＝12时，y＝﹣1×12+14＝2， 当y＝8时，﹣x+14＝8，解得x＝6，
∴点P，Q的坐标分别是P（12，2），Q（6，8）；
（2）如图1，过点B作BH⊥PQ于H， ∵长方形OABC的顶点B的坐标是（12，8）， ∴点A的坐标为（12，0），点C的坐标为（0，8）． 设直线AC表达式为y＝ax+b，则
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8， ∵PQ∥AC， ∴k＝﹣．
∴直线PQ表达式为y＝﹣x+12， ∵当x＝12时，y＝4； 当y＝8时，8＝﹣x+12， ∴x＝6， ∴BP＝4，BQ＝6．
在Rt△BPQ中，根据勾股定理得，PQ＝∵S△PBQ＝BQ?BP＝PQ?BH， ∴×4×6＝×∴BH＝
（3）∵当x＝12时，y＝6k+8；
；
×BH，
＝2
，
当y＝8时，x＝6．
∴点P的坐标为（12，6k+8），点Q的坐标为（6，8）． ∴AP＝6k+8，AO＝12，BQ＝CQ＝6，AB＝OC＝8． ∴BP＝8﹣（6k+8）＝﹣6k，
过点Q作QM⊥OP于点M，连接OQ，如图2， ∵PQ平分∠OPB， ∴∠QPB＝∠QPM，
又∵∠PMQ＝∠B＝90°，PQ＝PQ， ∴△BPQ≌△MPQ（AAS）， ∴QM＝QB＝6，MP＝BP＝﹣6k，
在Rt△OCQ中，根据勾股定理得，OQ＝10， 在Rt△OQM中，根据勾股定理得OM＝8， ∴OP＝OM+MP＝8﹣6k，
∵在Rt△OAP中，OA2+AP2＝OP2， 即122+（6k+8）2＝（8﹣6k）2． 解得，k＝﹣．
8．解：（1）令y＝0，则﹣x+4＝0， 解得x＝4，
x＝0时，y＝4，
∴OA＝6，OB＝8，
∴点A（4，0），B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝
＝
＝4
，
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位， ∴AP＝2t，AQ＝AB﹣BQ＝4
﹣t，
若PQ∥OB，则∠APQ＝∠AOB＝90°，则
∴， 解得t＝
；
（3）如图，作QH⊥OA于H， ∴QH∥OB， ∴△QAH∽△BAO， ∴，即
，
∴QH＝4﹣
t，
当四边形PQBO面积是△ABO面积的时，S△APQ＝S△AOB， ∴?2t?（4﹣t）＝×， 整理得
t2﹣4t+4＝0，解得t＝
（2﹣
）或t＝
（2+
）（舍去）
∴t的值为＝（2﹣）四边形PQBO面积是△ABO面积的．
；
（4）若∠APQ＝90°，由（2）可知t＝若∠AQP＝90°，则cos∠OAB＝∴
＝
， ，
，
解得t＝8﹣4∵0＜t≤1.5， ∴t的值为∴当t为
，
时，△APQ为直角三角形．
9．解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6， ∴x+2＝6， 解得，x＝4，
∴点E的坐标是（4，6），
∵点T （x，y）是点D和E的融合点， ∴x＝
＝，y＝
＝2，
∴点T的坐标为（，2）， 故答案为：（，2）；
（2）设点E的坐标为（a，a+2）， ∵点T （x，y）是点D和E的融合点， ∴x＝
，y＝
，
解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，
∴3x﹣3＝3y﹣2， 整理得，y＝x﹣；
（3）设点E的坐标为（a，a+2）， 则点T的坐标为（
，
），
当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同， ∴
＝a，
解得，a＝，
此时点E的坐标为（，），
当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同， ∴
＝3，
解得，a＝6，
此时点E的坐标为（6，8）， 当∠DTH＝90°时，该情况不存在，
综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）． 10．解：（1）当x＝0时，y＝kx+8＝8 所以B（0，8），OB＝8 ∵四边形ABOC是正方形 ∴OB＝OC＝8 ∴C（8，0） 得8k+8＝0 ∴k＝﹣1 ∴y＝﹣x+8
（2）∵点E关于y轴的对称点为点F ∴OE＝OF＝EF ∵EG＝2FG
EG＝EF
∴OE＝3OG＝﹣3t ∴EG＝﹣4t ∴S＝
（﹣8≤t＜0）
（3）
作ML∥EF，交BE于点L，作EQ⊥LG，则∠BEF＝∠BLM 显然BM＝BL，MF＝LE ∴LE＝GE ∴∠3＝∠BEF 而已知∠2＝∠BEF ∴∠2＝∠3，MN∥EQ ∴∠2＝∠BLM ∵∠1+∠2＝∠BLM ∴∠1＝∠2 ∵GL⊥MN ∴GL过MN的中点 ∴G，L，D在一条直线上 ∵CD＝5BD
∴（5BD）2﹣（8﹣BD）2＝82
得BD＝2
∴82+（﹣3t）2＝（2﹣4t）2 得t＝﹣2 ∴S＝32
11．解：（1）将点A（﹣6，0），B（0，4）代入y＝kx+b中，得
，
∴，
∴直线l1的函数表达式为y＝x+4；
（2）由（1）知，直线l1的函数表达式为y＝x+4①，∵直线l2：y＝x， 联立①②解得，，
∴C（6，8）， ∵B（0，4）， ∴OB＝4，
∴S△COB＝OB?|xC|＝×4×6＝12；
（3）设P（m，0）， ∵O（0，0），C（6，8）， ∴OP＝|m|．OC＝10，CP＝，
∵△POC是等腰三角形， ①当OP＝OC时，∴|m|＝10， ∴m＝±10，
∴P（﹣10，0）或（10，0）， ②当OP＝CP时，∴|m|＝
，
∴m＝∴P（
， ，0），
，
③当OC＝CP时，∴10＝∴m＝0（舍）或m＝12， ∴P（12，0），
即：满足条件的点P的坐标为 （﹣10，0）或（10，0）或（12，0）或（12．解：（1）∵直线y＝∴A（﹣4，0），B（0，4
，0）．
x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
），
，
设直线BC的解析式为：y＝kx+4∴4k+4∴k＝﹣
＝0， ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）如图1，∵D（2，m）为线段BC上的点， ∴m＝﹣2∴D（2，2
+4
＝2
，
），
∵点D关于直线上x＝﹣4的对称点E， ∴E（﹣10，2
），
∴直线CE的解析式为y＝﹣当x＝﹣4时，y＝∴F（﹣4，∴AF＝∴CF＝（3）存在，
如图2，∵AO＝4，OB＝4
，
）， ，AC＝8，
＝2
； ，
x+，
∴AB＝8，∠ABO＝30°，∠BAO＝60°，
当BA＝BM＝8时，以A、B、M为顶点的三角形为等腰三角形， ∴OM＝8+4或OM＝8﹣4
，
∴M1（0，8+4
），M3＝（0.4
﹣8）；
当AB＝MM＝8时，以A、B、M为顶点的三角形为等腰三角形， ∴OM＝OB＝4， ∴M4（0，﹣4），
当MA＝MB时，以A、B、M为顶点的三角形为等腰三角形， ∴∠MAB＝∠MBA＝30°， ∴∠MAO＝30°， ∴OM＝， ∴M2（0，
），
综上所述，点M的坐标为M1（0，8+4
），M2（0，
），M3＝（0.4
﹣8），M4（0，﹣
4）．
13．解：（1）x2﹣20x+96＝0 （x﹣8）（x﹣12）＝0
x1＝8，x2＝12，
∵OC＞OA， ∴OA＝8，OC＝12， ∵ED⊥AE，
∴∠AEO+∠DEC＝90°， 又∵∠AEO+∠OAE＝90°，
∴∠OAE＝∠CED，又∠AOE＝∠ECD＝90°， ∴△AOE∽△ECD， ∴
＝
，即
＝，
∴y＝﹣x2+x；
（2）当D为BC的中点时，y＝4， ∴﹣x2+x＝4， 解得，x1＝4，x2＝8，
设直线AE的解析式为：y＝kx+b， 当x＝4时，点E的坐标为（4，0）
，
解得，
，
∴直线AE的解析式为：y＝﹣2x+8；
当x＝8时，点E的坐标为（8，0）
，
解得，
，
∴直线AE的解析式为：y＝﹣x+8，
∴当D为BC的中点时，直线AE的解析式为y＝﹣2x+8或y＝﹣x+8； （3）当点F在线段OA上时，FA＝BD＝4， ∴OF＝4，即点F的坐标为（0，4）， 当点F在线段OA的延长线上时，FA＝BD＝4， ∴OF＝12，即点F的坐标为（0，12），
当点F在线段BC右侧、AB∥DF时，DF＝AB＝12， ∴点F的坐标为（24，4），
综上所述，以A，D，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，点F的坐标为（0，4）或（0，12）或（24，4）．
14．解：（1）∵4﹣b≥0，b﹣4≥0， ∴b＝4， 则a＝4，
对于直线y＝kx﹣4k，当y＝0时，x＝4， ∴点C的坐标为（4，0）， 故答案为：4；4；（4，0）；
（2）当D在线段BC上时，作BE⊥BA交AD的延长线于点E，作EF⊥y轴于F， 则∠BEF+∠EBO＝90°，∠ABO+∠EBO＝90°， ∴∠BEF＝∠ABO， ∵∠DAB＝45°， ∴BA＝BE，
在△AOB和△BFE中，
，
∴△AOB≌△BFE（AAS）， ∴BF＝OA，EF＝OB＝4，
对于直线y＝4x+4，当y＝0时，x＝﹣1， ∴OA＝1， ∴E（4，3）
设直线AE解析式为y＝mx+n，
，
解得，，
则直线AE解析式为y＝x+，
，
解得，，
∴D（，）；
，
）；
当D在CB延长线上时，同理可得D（（3）设M（m，﹣m+4）， 由（2）可得，△ANM≌△QHA， ∴MN＝AH＝﹣m+4，AN＝QH＝m+1， ∴Q（﹣m+3，﹣m﹣1）
则OQ2＝（﹣m+3）2+（﹣m﹣1）2＝2（m﹣1）2+8， 当m＝1时，OQ最小为故答案为：2
．
，
15．解：（1）①由題意，，
解得：，
所以C（4，4）．
②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方， 即x＞4时，﹣x+10＜x．
（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，
∵ON平分∠AOC， ∴∠AOQ＝∠COQ，
又OQ＝OQ．
∴△POQ≌△MOQ（SAS）， ∴PQ＝MQ， ∴AQ+PQ＝AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小， 即AQ+PQ存在最小値； ∴AB⊥ON， ∴∠AEO＝∠CEO， ∴△AEO≌△CEO（ASA）， ∴OC＝OA＝6， ∵△OAC的面积为9， ∴OC?AM＝9， ∴AM＝3，
∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．
16．解：（1）∵在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB＝4，AD＝3， ∴点C的坐标为（4，﹣3）， 设直线OC的函数解析式为y＝kx， ﹣3＝4k，得k＝﹣，
即直线OC的表达式为y＝﹣x； （2）当0≤t＜3时，S＝当3＜t≤7时，S＝
＝
＝﹣2t+6，
，
由上可得，S＝；
（3）∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°， ∴AC＝5，
当△ABC∽△QPC时，
则，
∵AC＝5，QC＝3﹣t，CB＝3，CP＝2t， ∴解得，t＝
， ；
当△ABC∽△PQC时，
，
∵AC＝5，PC＝2t，BC＝3，QC＝3﹣t， ∴解得，t＝
， ；
或
．
由上可得，当△QCP与△ABC相似时，t值是17．解：（1）∵直线y＝x+4，
∴当y＝0时，x＝﹣3，当x＝0时，y＝4，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为：（0，4）； （2）当t为4或
时，△ABP为直角三角形，
理由：当∠BPA＝90°时，此时点P与点O重合，此时t＝OB＝4， 当∠BAP＝90°时，△BAO∽△BPA，则
，
∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为：（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵∠BOA＝90°， ∴AB＝5， ∴
，
，
时，△ABP为直角三角形；
解得，BP＝
由上可得，当t为4或
（3）点D坐标是（2，0）或（8，0）， 理由：当四边形ABC1D1是平行四边形时，
∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为：（0，4），点E的坐标为（5，0）， ∴BC1＝5，
∵四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1＝AD1， ∴AD1＝5，
∵点A的坐标为（﹣3，0）， ∴点D1的坐标为（2，0）； 当四边形ABD2C2是平行四边形时， 则ED2＝OA，
∵点A的坐标为（﹣3，0），点E的坐标为（5，0）， ∴OA＝3， ∴OD2＝8，
∴D2的坐标为（8，0）；
由上可得，点D坐标是（2，0）或（8，0）．
18．解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝3； ∴A（3，0），B（0，3）； 故答案为：（3，0）；（0，3）．
（2）∵A（3，0），B（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3，
∴S△AOB＝OA×OB＝×3×3＝， 设C（m，n），
①当点C在线段AB上时，如图1，
∵△AOC的面积是△BOC的面积的2倍， ∴S△AOC＝∴
，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去）， ∵点C在直线y＝﹣x+3上， ∴﹣2+3＝n， ∴n＝1， ∴C（2，1）．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，
∵△AOC的面积是△BOC的面积的2倍， ∴S△BOC＝S△AOB， ∴×OB×|m|＝， ∴m＝﹣3或m＝3（舍去）， ∴C（﹣3，6）．
综合以上可得点C的坐标为（2，1）或（﹣3，6）． （3）如图3，以OB为边的菱形OBDE中，
∵OB＝3，
∴周长为3×4＝12，
如图4，以OB边的菱形OBDE中，同理周长为12．
如图5，以OB为对角线的菱形ODBE中，
∵OB＝OA＝3， ∴∠OBA＝45°， ∴∠DBE＝90°， ∴四边形ODBE为正方形， ∴BD＝3×
．
．
．
∴四边形ODBE的周长为4×
综上可得以O、B、D、E为顶点的菱形的周长为12或6故答案为：12或6
．
19．解：（1）∵OA＝OB，△OAB的面积是2． ∴OA?OB＝2， ∴OA＝OB＝2，
线段OB的中点C的坐标为：（﹣1，0）， 答：线段OB的中点C的坐标为：（﹣1，0）． （2）①过点E作EF⊥OB， ∵∠AOC＝90°，OA＝2，OC＝1， ∴AC＝
，
＝
＝
，
∵OE⊥AC，由面积法得：OE＝
∵∠EOF+∠AOE＝∠EAO+∠AOE＝90°， ∴∠EOF＝∠EAO，
∴tan∠EOF＝tan∠EAO＝，设EF＝x，则OF＝2x， ∴由勾股定理得：解得：x＝，2x＝， ∴点E坐标为：（﹣，）．
②证明：过点B作OB的垂线，交OE于点G，由（2）①可知，∠EOF＝∠EAO， ∴在△AOC和△OBG中，
∴△AOC≌△OBG（ASA）， ∴∠ECO＝∠BGD，BG＝OC， ∵C为线段OB的中点， ∴BG＝BC，
∵OA＝OB，∠AOC＝∠OBG＝90°， ∴∠GBD＝∠CBD＝45°， ∴在△BGD和△BCD中，
∴△BGD≌△BCD（SAS）
，
∴∠DCB＝∠BGD， 又∠ECO＝∠BGD， ∴∠ECO＝∠DCB．
（3）由菱形对角线互相垂直的性质，易知，P1（1，0），Q1（0，﹣2）符合题意； ∵AC＝
，
为半径作圆，与x轴可得两个交点P（﹣2
，0），P（3
，
∴分别以点C和点A 为圆心，以0）
从而得Q2（﹣
，2），Q3（
，2），
由tan∠ACO＝2，可知，当以AC为菱形的对角线时，AC被另一条对角线垂直平分，
，从而另一条对角线P4Q4的一半为
∴P4（，0），Q4（﹣，2）
综上，点Q的坐标为：（0，﹣2）、（﹣
，2）、（
，2），（﹣，2）．
，从而P4C＝，
20．解：（1）由轴对称的性质可得，若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是点A，
OP所在的直线是y轴；
当点P在C点时， ∵∠AOC＝∠BOC＝45°， ∴A′点的位置关系是点B，
OP所在的直线表达式是y＝x．
故答案为：A，y轴；B，y＝x． （2）连接OD，
∵正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点， ∴
＝
＝
．
由折叠的性质可知，OA′＝OA＝2，∠OA′D＝90°． ∴A′D＝1．
设点P（x，2），PA′＝x，PC＝2﹣x，CD＝1． ∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12． 解得x＝． 所以P（，2），
∴OP所在直线的表达式是y＝3x． （3）存在．若△DPQ的周长为最小， 即是要PQ+DQ为最小．
∵点D关于x轴的对称点是D′（2，﹣1）， ∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线PD′的函数表达式为y＝﹣x+． 当y＝0时，x＝∴点Q（
．
，0）．
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