2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）
本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式V?1Sh， 其中S是锥体的底面积， h是锥体的高． 3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．复数z?a?bi?a,b?R?的虚部记作Im?z??b，则Im?A．
?1??? 2?i??D．?12 B． 35C．?1 31 52．已知全集U?AUB??1,2,3,4,5,6,7?，AIeUB??2,4,6?，则集合B?
A．?2,4,6? B．?1,3,5? C．?1,3,5,7? D．?1,2,3,4,5,6,7? 3．设随机变量?服从正态分布N?3,4?，若P???2a?3??P???a?2?，则a的值为
??75 B． C．5 D．3 331324．已知函数f?x??x?2ax?x?a?0?，则f?2?的最小值为
a21A．1232 B．16 C．8?8a? D．12?8a?
aaA．
5．已知f1?x??sinx?cosx，fn?1?x?是fn?x?的导函数，即f2?x??f1??x?，
f3?x??f2??x?，…，fn?1?x??fn??x?，n?N*，则f2011?x??
A．?sinx?cosx B．sinx?cosx C．?sinx?cosx D．sinx?cosx 6．一条光线沿直线2x?y?2?0入射到直线x?y?5?0后反射，则反射光线所在的直线方程为
A．2x?y?6?0 B．x?2y?7?0 C．x?y?3?0 D．x?2y?9?0
7．三个共面向量a、b、c两两所成的角相等，且a?1，b?2，c?3，则a+b+c 等于
A．3 B．6 C．3或6
D．3或6
8．正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE?1，BF?1，将2此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P?DEF的体积是 A．
52321 B． C． D．
6933
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．已知函数f?x??sin??x?距离的最小值为
????若函数f?x?图象上的一个对称中心到对称轴的????0?，
6??，则?的值为 ． 33210．已知函数f?x?是定义在R上的偶函数，当x?0时，f?x??x?x，
则当x?0时，f?x?的解析式为 ．
1223n?2n?1n?111．若Cn?3Cn?3Cn?L?3Cn?3?85，则 n的值为 ．
v(cm/s) 4 2 1 2 3 4 12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v?v?t?的图象，O t(s) 则该质点运动的总路程s? 厘米． 图1 13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1?12，2?6，3?4三种，其
中3?4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3?4为12的最佳分解．当
p?q?p?q且p,q?N*?是正整数n的最佳分解时，我们规定函数f?n??3f?12??.
4关于函数f?n?有下列叙述：①f?7??p，例如q134，②f?24??，③f?28??，④787f?144??9.其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）． 16
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）在梯形ABCD中，ADPBC，AD?2，BC?5，点E、F分
别在AB、CD上，且EFPAD，若
AE3?，则EF的长为 ． EB4??（坐标系与参数方程选做题）设点A的极坐标为?2,角为
???，直线l过点A且与极轴所成的6??，则直线l的极坐标方程为 ． ．．．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
如图2，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔
船甲同时从B处出发沿北偏东?的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin?的值．
o北 C
西 ? B
60
oA 东
南
17．（本小题满分12分）
某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．
视觉 听觉 偏低 听觉 记忆 能力 偏低 中等 偏高 超常 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 偏高 5 3 0 1 超常 1 b 1 1 a 2 由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为
2． 5（1）试确定a、b的值；
（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超
常的学生的概率；
（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生
人数为?，求随机变量?的数学期望E?．
18．（本小题满分14分）
一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E?ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA?平面ABC，
AB?AC，AB?AC，AE?2． （1）求证：AC?BD；
（2）求二面角A?BD?C的平面角的大小．
19．（本小题满分14分）
已知数列?an?的前n项和Sn?E C A1
O B D1
D D1
D
A A1
O
A
E E A
正（主）视图 图3
侧（左）视图
?n?1?an，且a21?1．
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）令bn?lnan，是否存在k（k?2,k?N），使得bk、bk?1、bk?2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）
?x2y2222已知双曲线C：2?2?1?a?b?0?和圆O：x?y?b（其中原点O为圆心），
ab过双曲线C上一点P?x0,y0?引圆O的两条切线，切点分别为A、B．
（1）若双曲线C上存在点P，使得?APB?90，求双曲线离心率e的取值范围； （2）求直线AB的方程；
（3）求三角形OAB面积的最大值．
21．（本小题满分14分）
已知函数f?x??ax?xlnx的图象在点x?e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a的值；
of?x?（2）若k?Z，且k?对任意x?1恒成立，求k的最大值；
x?1（3）当n?m?4时，证明mn?nm???nmm?．
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