福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考2016-2017学年高

（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an的表达式； （2）设数列

的前n项和为Pn，求证：Pn＜；

，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较Tn与

的大小．

（3）设Cn=

【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由Sn=nan﹣n（n﹣1），Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n，两式相减整理得：an+1﹣an=2，{an}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得数列{an}通项公式； （2）由（1）可得即可求得数列

的前n项和为Pn，Pn=

，利用裂项相消法，；

（3），由“错位相减法”即可求得

，利用作差法即可求得

求得Tn＞

．

＞0，即可

【解答】解：（1）证明：∵Sn=nan﹣n（n﹣1） ∴Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n…

∴an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣2n… ∴nan+1﹣nan﹣2n=0 ∴an+1﹣an=2，

∴{an}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列 …

由等差数列的通项公式可知：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1， 数列{an}通项公式an=2n﹣1；… （2）证明：由（1）可得

…

=

…

，

（3）∴，

=，

两式相减得…

=，

=，

=，

=∴∴∵n∈N*， ∴2n＞1， ∴∴

，

…

…

， …

2016年12月3日