灰 色 预 测 法
第一节 灰 色 系 统
一、灰色预测的概念
灰色预测是就灰色系统所作的预测。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息末知为黑箱系统，部分信息已知、部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测，可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有本知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的，与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律。灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测一般有四种类型。
1．数列预测。对某现象随时间的顺延而发生的变化所作的预测定义为数列预测。例如对消费物价指数的预测，需要确定两个变量，一个是消费物价指数的水平，另一个是这一水平所发生的时间。 2．灾变预测。对发生灾害或异常突变事件可能发生的时间预测称为灾变预测。例如对地震时间的预测。
3．系统预测。对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测称为系统预测。例如市场中代用商品、相互关联商品销售量互相制约的预测。
4．拓扑预测。将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。
二、系统功能模拟与灰色分析 （一）系统模拟
所谓系统模拟是指通过系统模型间接地模拟真实系统的过程。系统模型建立起来后，在人为控制的条件下，通过改变特定参数，观察和研究模型的情况，以预测系统在真实环境下的特征、规律、作用、效率等。这是组建系统的必经过程，也是研究系统的重要手段。根据系统模型和系统真实情况相似关系的特点，一通常把模拟分为物理模拟与数学模拟两大类。物理模拟是以系统模型和真实系统之间物理相似或几何相似为基础的一种模拟方法。数学模拟是以系统模型和真实系统之间在数学形式相似的基础上进行的一种模拟方法。灰色分析属于数学模拟。
（二）系统功能模拟
当系统内部结构复杂，环境变化多端，或者受客观条件限制，人们无法深入其中进行研究；有的则是系统本身不容许深入其中，一旦深入其中，系统的结构将会马上变化，这时人们所研究的已不是原有的结构了，亦即不是原先的系统了。人们只能从系统的输出功能——系统对环境的作用，来研究系统的结构。这种方法称之为系统功能模拟法。
以运动成绩因素分析为例，影响运动成绩的因素很多，关系错综复杂，从结构上模拟比较困难，计算也很繁琐。但历届运动会的成绩，运动训练的功能，却一目了然，提供了一系列的功能模型。功能的变化反映了系统结构的变化。尽管系统的功能不是由唯一的一种结构决定的，而是由若干种可能结构中的一种决定的。但是随着输出信息的增多，还是有可能接近真实系统。再如我国的中医治病就是通过望、闻、问、切获取信息，对人体进行功能模拟，取得了较好的治疗效果。
（三）灰色系统分析
所谓灰色系统分析是利用系统灰数的白化值，通过数学模拟，使系统潜在的结构与功能显化的系统功能模拟法。灰色系统分析的研究任务如下：
1．系统的关联度分析。这是根据因素之间的发展趋势的相似或相异程度，来衡量因素间关联程度的方法。它对样本量的多少没有过分要求，也不需要典型的分布规律，计算量小，且不出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。对抽象系统、评估系统、体育现象等进行关联度分析，首先要找准数据序列，即用什么数据才能反映系统的行为特征。如用奥运会的团体总分反映参与国的竞技体育水平；用体育人口反映体育运动普及程度；用场馆建设总面积反映体育投入水平。
2．建立系统模型。现有的其他建模方法是用离散的数据列，建立一个按时间作逐段分析的模型，即递推的离散的模型。这种模型有较大的局限性，因此人们常常希望使用微分方程模型。微分方程的系统有助于辨识系统内部物理或化学过程的本质。但是系统输出输入的导数信号很难获得，所以该解不存在。
灰色系统理论立足于建立连续微分方程模型。灰色理论认为，任何随机过程都是在一定幅值范围、一定时区内变化的灰色量，是一个灰色过程。在处理手法上，灰色过程是通过原始数据的整理来寻找数的规律，称为数的生成，这是一种就数找数揭示规律的途径。尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，总是有序的，它必然潜藏着某中内在规律。原始数据通常是离乱的，生成的数据列一般具有较强的规律性，有可能对变化过程作较长时间的描述，因此有可能建立微分方程模型。兹举例如下：
考虑有4个原始数据，记为 x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4)。且x(0)(1)?1,x(0)(2)?2，
x(0)(3)?1.5,x(0)(4)?4。将上述数据作图，如图7－1所示。
图7－1表明原始数据x(0)没有明显的规律，其发展趋势是摆动的。
图7－1 图7－2
如果将原始数据作累加生成。记第k个累加生成数为x x x x x(1)
(1)并且
(1)?x(0)(1)?1， (1)?x(1)?x(1)?x(0)(1)(2)?x(3)?x(4)?x(0)(2)?1?2?3， (2)?x(2)?x(0)(1)(0)(0)(3)?4.5 (3)?x(0)(1)(0)(0)(0)(4)?7.5
作这样的生成后，将生成数据作图，如图7－2所示。图7－2表明，无规律的原始数据生成后，得到了较规律的数据，变成无摆动的递增数据。
3．灰色预测。凡事预则立，不预则废。预测是人们对客观事物发展变化的一种认识与估计。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)进行的定量预测，从其功用与特征可分为：数列预测、灾变预测、拓扑预测。我们将着重讨论数列预测。
4．灰色决策。所谓决策，是选定一个合适的对策，去对付某个事件的发生，以取得最佳效果。例如可以用灰色系统理论的GM(1,1)模型对约束条件的值进行预测，然后按预测的约束条件，作出未来发展变化的线性规划。
5．灰色控制。决策的执行称为控制，灰色控制是指对灰色参数的控制，或用GM(1,1)模型构成
预测控制。
第二节 评估因素灰色关联分析
一、灰色关联分析概述
影响系统的功能一般有多种因素，这些因素之间哪些是主要的，哪些是次要的；哪些影响大，哪些影响小；哪些需要发展，哪些需要抑制，??都是因素分析的内容。评估领域中的因素分析过去多采用统计分析的方法，但大都用于少因素的、线性的场合，而且对样本量与分布规律有严格的要求。
灰色关联分析是系统动态过程发展态势的量化比较分析。发展态势的比较，也就是时间为序的数据列几何关系的比较。例如，连续5年产品销售量构成一个序列。这几年的固定资产总投资，科技投资也构成相应的序列，3个序列可绘成3条曲线，曲线的几何形状、“变化态势越接近，关联程度越大。
二、关联系数与关联度 （一）数据列的表示方式
作关联分析先要选定参考的数据列。参考数据列常记为x0，记第1个时刻（或第1项）为x0(1)，其余时刻依次为x0(2)，x0(3)，??，x0(k)。因此参考序列x0可表示为：
x0?(x0(2)，x0(3)，??，x0(n))
如表7－1的数据为参考列。
表7－l
序 号 数据x0 符 号 1 1 x0(1) 2 1.4 x0(2) 3 2 x0(3) 4 2.25 x0(4) 5 3 x0(5) 6 4 x0(6) x0?(1,1.4,2,2.25,3,4)
关联分析被比较的数列常记为x1，x2,??,xn。其后括号内的数字为列中的序号。如
x1?(x1(1),x1(2),x1(3),x1(4),x1(5),x1(6),) ?(1,1.166,1.834,2,2.234,3)
为第一个被比较的数列，依此类推，可列出其余数列。
（二）关联系数计算公式
关联性实质上是曲线几何形状的差别，因此将以曲线间差值的大小。作为关联程度的衡量尺度。 对于一个参考数列x0，有好几个比较数列x1，x2,??,xn，的情况，可以用下述关系表示各被比较曲线与参考曲线在各点（时刻）的差。
?i(k)?minmin|x0(k)?xi(k)|?0.5?maxmax|x0(k)?xi(k)|ikik|x0(k)?xi(k)|?0.5?maxmax|x0(k)?xi(k)|ik
式中?i(k)是第k个时刻比较曲线xi与参考曲线x0的相对差值，这种形式的相对差值称为xi对
x0在k时刻的关联系数。
上式中0.5是分辨系数，记为?，一般在0与1之间取值。
minminx0(k)?xi(k) 称为两级最小差。第一级最小差是对k而言，跑遍k选最小者；第二
ik级最小差是对i而言，跑遍i选最小者。
maxmaxx0(k)?xi(k)称为两级最大差。跑遍k选最大差，然后跑遍i选最大差。
ik[例7一1] 给出下述数列 x0?(20,22,40)，x1?(30,35,55)，x2?(40,45,43)，试求两级最小差与两级最大差。 解：先求两级最小差。
对于i?1，
k?1,k?2,k?3,x0(1)?x1(1)?|20?30|?10 x0(2)?x1(2)?|22?35|?13 x0(3)?x1(3)?|40?55|?15
min(10,13,15)?10
k 对于i?2，
k?1,k?2,k?3,x0(1)?x2(1)?|20?40|?20 x0(2)?x2(2)?|22?45|?23 x0(3)?x2(3)?|40?43|?3
min(20,23,3)?3
k
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