第3讲 几何概型
一、知识梳理 1．几何概型 (1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)几何概型的两个基本特点
2．几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度（面积或体积）P(A)＝.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）二、习题改编
1．(必修3P142A组T3改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s，黄灯的时间为5 s，绿灯的时间为40 s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率为 ．
2答案：
5
2．(必修3P142A组T2改编)如图是某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖，则顾客中奖的概率是 ．
1答案：
3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏
常见误区(1)易混淆几何概型与古典概型； (2)几何概型的测度选择不正确．
1．如图，在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m颗)．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(n 2nA. mnC. 2m 4nB. mnD. 4m S阴影落在L围成的区域内的豆子数n 解析：选B.＝， S正方形落在正方形中的豆子数mn4n 所以S阴影＝×22＝. mm 2．记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ． 3－（－2）5 解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝. 5－（－4）95答案： 9 与长度有关的几何概型(典例迁移) π3 (2020·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x，使sin x≥的概率为( ) 221 A. 32C. 3 1B. 23D. 4 ππ3ππ2π24 【解析】 当x∈[0，2]时，0≤x≤π，所以sinx≥?≤x≤?≤x≤.故由几何概型的知识 2223233342 －331 可知所求概率P＝＝.故选A. 23 【答案】 A 【迁移探究】 (变条件)若将本例中的不等式变为sin x≤解：结合正弦曲线，在[0，π]上使sin x≤ 3 ，如何求概率？ 2 π2π3 0，?∪?，π?， 的x∈??3??3?2 故所求概率为P＝ ?π－0?＋?π－2π? 3?2?3?? π－0 ＝. 3 与长度有关的几何概型 (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 构成事件A的区域长度 P(A)＝. 试验的全部结果所构成的区域长度 (2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解． 1．(2020·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30，7：00，7：30，准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为 ． 解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P＝ 1答案： 2 2．(2020·江西赣州十四县联考)在(0，8)上随机取一个数m，则事件“直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点”发生的概率为 ． 201 ＝. 402 0 解析：因为m∈(0，8)，直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点，所以?|3＋4－1|， >m?2?32 解得0 8 32答案： 8 与面积有关的几何概型(多维探究) 角度一 与平面图形面积有关的几何概型 (1)(2020·昆明市诊断测试)如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得 到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH(图中阴影部分)，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH内的概率是( ) 1 A. 41C. 8 1B. 61D. 16 (2)(2020·江西七校第一次联考)图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( ) 1A. 24 C.－1 π 1B. 34D.2－ π 【解析】 (1)设第1个正方形ABCD的边长为2，则第2个正方形的边长为2，第3个正方形的边 S正方形EFGH2 ，所以所求概率P＝＝2＝.故选C. 228S正方形ABCD 2 ?2??2?1 长为1，第4个正方形EFGH的边长为 112－8?×π×12－×1×1?π×12?4?4S阴影 (2)设圆的半径为1，则该点取自阴影区域内的概率P＝＝＝－1， πS圆π×12
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