→?AM＝0，?（2－2）x0＋2y0＋6z0＝0，?m·?即?
→x＝0，?AB＝0，?0?m·
所以可取m＝(0，－6，2)． m·n10于是cos〈m，n〉＝＝.
|m||n|5因此二面角M-AB-D的余弦值为
10
. 5
[B组 大题增分专练]
1．(2018·南昌模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，1
AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝AD＝3，AC∩BD＝O，过O
2点作平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H.
(1)求GH的长度；
(2)求二面角B-FH-E的余弦值．
解：(1)因为平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD＝EF， 平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB. 同理EH∥BP，FG∥AP. 因为BC∥AD，AD＝6，BC＝3， 所以△BOC∽△DOA， 且
BCCO1＝＝， ADAO2
EO11
所以＝，CE＝CB＝1，BE＝AF＝2，
OF23CHEHCO1同理＝＝＝，
PCPBCA3连接HO，则有HO∥PA， 且HO⊥EO，HO＝1， 1
所以EH＝PB＝2，
32
同理FG＝PA＝2，
3
过点H作HN∥EF交FG于N，易得四边形HNFO为矩形， 则GH＝HN2＋GN2＝5.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(3，0，0)，F(0，2，0)，E(3，2，0)，H(2，2，1)，
→→
BH＝(－1，2，1)，FH＝(2，0，1)． 设平面BFH的法向量为n＝(x，y，z)， →?BH＝－x＋2y＋z＝0?n·则?，
→?FH＝2x＋z＝0?n·3
1，，－2?. 令z＝－2，得n＝??2?因为平面EFGH∥平面PAB，
所以平面EFGH的一个法向量为m＝(0，1，0)． m·n
故cos〈m，n〉＝＝
|m||n|
3291＋＋44329
. 29
329
， 29
＝
二面角B-FH-E的余弦值为
2．(2018·西安模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝22，E为CD的中点，点F在线段PB上．
(1)求证：AD⊥PC；
(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．
解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，AB＝22，BC＝2，∠ABC＝45°， 由余弦定理得AC2＝8＋4－2·22·2·cos 45°＝4，得AC＝2， 所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AD∥BC， 所以AD⊥AC，
又AD＝AP＝2，DP＝22， 所以PA⊥AD，又AP∩AC＝A， 所以AD⊥平面PAC，所以AD⊥PC. (2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD， 所以PA⊥底面ABCD，
所以直线AC，AD，AP互相垂直，以A为坐标原点，DA，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，D(－2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(－1，1，0)，P(0，0，2)， →→→
所以PC＝(0，2，－2)，PD＝(－2，0，－2)，PB＝(2，2，－2)，
设
PF
＝λ(λ∈[0，1])， PB
→
则PF＝(2λ，2λ，－2λ)，F(2λ，2λ，－2λ＋2)， →
所以EF＝(2λ＋1，2λ－1，－2λ＋2)， 易得平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)． 设平面PDC的法向量为n＝(x，y，z)， →??2y－2z＝0，PC＝0，??n·由?得?
?→－2x－2z＝0，?PD＝0，??n·令x＝1，得n＝(1，－1，－1)．
因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等， →→
所以|cos〈EF，m〉|＝|cos〈EF，n〉|， →→
|EF·m||EF·n|即＝， →→|EF|·|m||EF|·|n|所以|－2λ＋2|＝?
?2λ?，
??3?
3－3PF3－3
，所以＝. 2PB2
即3|λ－1|＝|λ|，解得λ＝
3．(2018·潍坊模拟)在?PABC中，PA＝4，PC＝22，∠P＝45°，D是PA的中点(如图1)．将△PCD沿CD折起到图2中△P1CD的位置，得到四棱锥P1-ABCD.
(1)将△PCD沿CD折起的过程中，CD⊥平面P1DA是否成立？请证明你的结论； (2)若P1D与平面ABCD所成的角为60°，且△P1DA为锐角三角形，求平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值．
解：(1)将△PCD沿CD折起过程中，CD⊥平面P1DA成立．证明如下： 因为D是PA的中点，PA＝4， 所以DP＝DA＝2，
在△PDC中，由余弦定理得，CD2＝PC2＋PD2－2PC·PD·cos 45°＝8＋4－2×22×2×
2
＝4， 2
所以CD＝2＝PD， 因为CD2＋DP2＝8＝PC2，
所以△PDC为等腰直角三角形且CD⊥PA， 所以CD⊥DA，CD⊥P1D，P1D∩AD＝D， 所以CD⊥平面P1DA.
(2)由(1)知CD⊥平面P1DA，CD?平面ABCD， 所以平面P1DA⊥平面ABCD， 因为△P1DA为锐角三角形，
所以P1在平面ABCD内的射影必在棱AD上，记为O，连接P1O， 所以P1O⊥平面ABCD，
则∠P1DA是P1D与平面ABCD所成的角， 所以∠P1DA＝60°， 因为DP1＝DA＝2，
所以△P1DA为等边三角形，O为AD的中点，
故以O为坐标原点，过点O且与CD平行的直线为x轴，DA所在直线为y轴，OP1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设x轴与BC交于点M， 因为DA＝P1A＝2，
所以OP1＝3，易知OD＝OA＝CM＝1，所以BM＝3，
→→
则P1(0，0，3)，D(0，－1，0)，C(2，－1，0)，B(2，3，0)，DC＝(2，0，0)，BC＝→
(0，－4，0)，P1C＝(2，－1，－3)，
因为CD⊥平面P1DA，
所以可取平面P1DA的一个法向量n1＝(1，0，0)， 设平面P1BC的法向量n2＝(x2，y2，z2)， →??n2·BC＝0，?－4y2＝0，
则?所以?
→2x－y－3z＝0，?222??n2·P1C＝0，y2＝0，???3，0，1?， 解得?令z＝1，则n＝223?2?x2＝z2，?2?
设平面P1AD和平面P1BC所成的角为θ，由图易知θ为锐角，
|n1·n2|21
＝＝.
7|n1|·|n2|7
1×
2
21. 732
所以cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
所以平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值为
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