2019届高考数学二轮复习专项二 专题四 3 第3讲 专题强化训练 含解析

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝22，BC＝42，PA＝2.

(1)求证：AB⊥PC；

(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小

为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

解：(1)证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD＝CD＝22，BC＝42，可得AB＝AC＝4，

所以BC2＝AB2＋AC2，

所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC， 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB， 又PA∩AC＝A，

所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC. (2)存在，理由如下：

取BC的中点E，则AE⊥BC，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，C(22，22，0)，D(0，22，0)，P(0，0，2)，B(22，－22，0)，

→→

PD＝(0，22，－2)，AC＝(22，22，0)． →→

设PM＝tPD(0

则点M的坐标为(0，22t，2－2t)， →

所以AM＝(0，22t，2－2t)．

设平面MAC的法向量是n＝(x，y，z)， →?AC＝0，?n·则?

→?AM＝0，?n·

?22x＋22y＝0，即? ?22ty＋（2－2t）z＝0，

2t

令x＝1，得y＝－1，z＝，

1－t2t??

则n＝?1，－1，?.

1－t??

又m＝(0，0，1)是平面ACD的一个法向量， |m·n|

所以|cos〈m，n〉|＝

|m||n|

＝

?2t??t－1???2

＝， 222t??

2＋???t－1?

1

解得t＝，即点M是线段PD的中点．

2

此时平面MAC的一个法向量n＝(1，－1，2)， →

又BM＝(－22，32，1)． 设BM与平面MAC所成的角为θ， 4226→

则sin θ＝|cos〈n，BM〉|＝＝.

92×3326

故BM与平面MAC所成角的正弦值为. 9