5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：
①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aT??1i?jiaj?；
?0i?j(i,j?1,2,?n)②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1；
③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)
b1?a1； b1,a2]2?a2?[b[bb1
1,b1]? ???
b?a[b1,ar]b2,ar]?1,ar]rr?[b?b1?[1,b1][b2,b2???[br2]?b[br?1,bbr?1;
r?1]?3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；
?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；
②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；
?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B； 5. 相似一定合同、合同未必相似；
若C为正交矩阵，则CTAC?B?A?B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xTAx为正定：
?A的正惯性指数为n；
?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数；
?A的各阶顺序主子式均大于0；
?aii?0,A?0；(必要条件)
加油~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ · ~ ~ ~ ~
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