^.
所以DE?平面CEP，
所以BC?平面CEP.…………………………………………………………………4分 又因为BC?平面BCP，
所以平面BCP?平面CEP.…………………………………………………………5分 （2）解：因为平面DEP?平面BCED，平面DEPI平面BCED?DE，EP?平面DEP，EP?DE.
所以EP?平面BCED.………………………………………………………………6分 又因为CE?平面BCED，
所以EP?CE.…………………………………………………………………………7分
uuuruuurruuu以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如
图所示的空间直角坐标系.…………………………………………………………………8分
在题图1中，设BC?2a，则AB?4a，AC?23a，AE?CE?3a，DE?a. 则P0,0,3a，D?a,0,0?，C0,3a,0，B2a,3a,0.
??????uuuruuuruuur所以DP??a,0,3a，BC???2a,0,0?，CP?0,?3a,3a.……………9分
????设n??x,y,z?为平面BCP的法向量，
uuur????2ax?0,?n?BC?0,则?uuu，即? r????3ay?3az?0.?n?CP?0,令y?1，则z?1.所以n??0,1,1?.…………………………………………………11分 设DP与BCP平面所成的角为?，
uuurn?DPuuuruuur3a6?则sin??sinn,DP?cosn,DP?. uuur?42?2anDP所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为
6.…………………………………12分 4
9.解：（1）由题意知：10?n?14，所以的取值为10，11，12，13，14，………1分
^.
代入y?10a?n，可得20?10a?0.5???10a?0.55???10a?0.6???10a?0.65???10a?0.7??1，………………3分
解得a?0.08.……………………………………………………………………………4分 （2）由（1），得y?0.3,0.25,0.2,0.15,0.1，频率分布直方图如图：……………6分
这40名新生的高考数学分数的平均数为
105?0.30?115?0.25?125?0.20?135?0.15?145?0.10?120. ……………………8
分
（3）由题意可知，??0,1,2,3,4，且“高考数学分数不低于130分”的概率为
?1?0.15?0.1?0.25，所以?～B?4,?……………………………………………………10分
?4?所以E????4?1?1.…………………………………………………………………12分 410.（1）解：根据题意知，4?2pya，①……………………………………………1分 因为AF?2，所以ya?p?2.②. …………………………………………………2分 2联立①②解的ya?1，p?2.………………………………………………………… 4分 所以E的方程为x?4y.………………………………………………………………5分 （2）证明：方法一，设B?x1,y1?，M?x2,y2?.由题意，可设直线BM的方程为
2y?kx?b，代入x2?4y，得x2?4kx?4b?0.
（3）由根与系数的关系.得x1?x2?4k，x1x2??4b.③…………………………6分 由MP?x轴及点P在直线y?x?3上，得P?x2,x2?3?， 则由A，P，B三点共线，得
x2?4kx1?b?1?，………………………………8分 x2?2x1?2整理，得?k?1?x1x2??2k?4?x1??b?1?x2?2b?6?0.
^.
将③代入上式并整理，得
?2?x1??2k?b?3??0. ……………………………………………………………………10分
由点B的任意性，得2k?b?3?0，所以y?kx?3?2k?k?x?2??3.
即直线BM恒过定点?2,3?. ……………………………………………………………12分
?n2?方法二，设P?t,t?3?，B??n,4??，
???t2??n2?则M??t,4??，AB???n?2,4?1??，AP??t?2,t?4?.…………………………6分
????由A，B，P三点共线，得AB∥AP，
?n2?即?n?2??t?4????4?1???t?2??0，即?n?2??2t?2n?tn?12??0.…………8分
??当n?2时，点B坐标为?2,1?，与A?2,1?重合，不合题意； 当n?2时，2t?2n?tn?12?0， 整理，得
ntt?n??3.③ 42因为kBMt2n2?44?n?t， ?t?n4t2n?t?x?t?. ……………………………………10分 所以直线BM的方程为y??44n?tt2?n?t?tx??结合③.得y? 444???n?tntx? 44n?tt?nx??3 42n?t?x?2??3， 4所以直线BM恒过定点?2,3?. ………………………………………………………12分 21.（1）证明：当a?1时，f?x??e?x?1，则f??x??e?1.………………1分
xx由f??x??0.得x?0.
当x?0时，f??x??0；当x?0时，f??x??0，
^.
所以函数f?x?在区间???,0?内是减函数。在区间?0,???内是增函数，………3分 所以x?0是f?x?的极小值点，也是最小值点.且f?x?min?f?0??0，
故当a?1时.f?x??0恒成立.………………………………………………………5分 （2）解：据题意，得f??x??ae?1.
ax①当a?0时，f??x??0恒成立.则函数f?x?在R上是减函数。
又f?0??0，所以函数f?x?有且只有一个零点. …………………………………6分 ②当a?0时.由f??x??0，得x?当x?当x?11ln. aa11ln时，f??x??0； aa11ln时，f??x??0， aa??11??11?ln?内是减函数，在区间?ln,???内是增函数。 aa??aa?所以f?x?在区间???,所以x?11ln是函数f?x?的极小值点，也是最小值点， aa?11?111ln???ln?1.…………………………………………7分 aa?aaa?即f?x?min?f?令h?t??t?tlnt?1?t?0?， 则h??t??1??1?lnt???lnt， 当t?1时，h??t??0； 当0?t?1时，h??t??0； 当t?1时，h??t??0，
所以函数h?t?在区间?0,1?内是增函数，在区间?1,???内是减函数， 从而t?1是函数h?t?的极大值点.也是最大值点，所以h?t??h?1??0， 即f?x?min?当f?x?min?当f?x?min?讨论：
111?ln?1?0（当且仅当a?1时取等号）………………………9分 aaa111?ln?1?0，即a?1时，函数f?x?只有一个零点…………10分 aaa111?ln?1?0，即a?0，且a?1时，分a?1和0?a?1两种情况aaa^.
（i）当a?1时，?1?区间???,11ln?0，因为f??1??eax???1??1?eax?0，所以f?x?在aa??11?ln?内有一个零点；又f?0??0，因此f?x?有两个零点. aa?（ii）当0?a?1时，
x11ln?0； aa由（1），得e?x?1.即x?ln?x?1?，亦即lnx?x?1. 令x?2222?2?.则得ln??1，即?ln????1?，
aaaa?a?222?22?2lna22?2?2?2??ln?1??????1??1??1?0， 所以f?ln??eaaa?aa??a?a?a?所以f?x?在区间?又f?0??0，
因此函数f?x?有两个零点.
由（i）和（ii），得当a?1或0?a?1时，函数f?x?有两个零点. 综上，当a?0或a?1时，函数f?x?只有一个零点；
当a?0.且a?1时，函数f?x?有两个零点。………………………………………12分 22.解：（1）由??2sin??2acos??a?0?，得??2?sin??2a?cos??a?0?，
2?11?ln,???内有一个等点. ?aa?所以曲线C的直角坐标方程为x?y?2y?2ax，
即?x?a???y?1??a?1，…………………………………………………………3分
22222直线l的普通方程为y?x?2. …………………………………………………………5分
?2x??2?t,??222（2）将直线l的参数方程?代入x?y?2y?2ax并化简、整理，
?y?2t?2?得t?32?2at?4a?4?0.……………………………………………………5分 因为直线l与曲线C交于M，N两点。
所以Δ?32?2a?4?4a?4??0，解得a?1.…………………………………6分 由根与系数的关系，得t1?t2?32?2a，t1t2?4a?4. ………………………7分
2????2
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