第三篇 动力学
第3篇 动力学
主要知识点：（1）质点动力学；
（2）动量定理； （3）动量矩定理； （4）动能定理； （5）达朗伯原理； （6）振动基础。
质点动力学
1. 如图所示，桥式起重机上跑车悬吊一重为W的重物，以速度vo作匀速直线运动，刹车后，重物的重心因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢绳的最大拉力。
T
T0
0
解：取重物W为研究对象，作受力图如16-1所示。
取自然轴，列运动微分方程如下
图16-1
a??Wdv??Wsin?gdt
v2FT?W(cos??)glWv2an??FT?Wcos?gl??02v0FTmax?W(1?)gl
2. 液压减振器工作时，活塞在液压缸内作直线运动。若液体对活塞的阻力正比于活塞的速度v，即FR=-μv，其中μ为比例常数。设初始速度为vo，试求活塞相对于液压缸的运动规律，并确定液压缸的长度。
解：取活塞为研究对象，如所示。
建立质点运动微分方程为：
令k=u/m代入上式得：
分离变量，对等式两边积分，并以初始条件 t＝0、v＝v0代入
积分后得：
ktdx=vedt∫∫000xt再次积分，并以初始条件 t＝0、x＝0代入： 得到：
-
xmax=lim[v0(1-e-kt)/k]=v0/k=mv0/μ
t→∞
动量定理
3. 锤的质量为3000kg，从高度H=1.5m处自由落到工件上，如图所示。已知工件因受锤击而变形所经时间t＝0.01s，求锻锤对工件的平均打击力。
解： 锤自由下落H时的速度：
υ1y=2gHt mυ2y-mυ1y=Fdt∫y0
-mυ1y=-FNt
得： m3000F=2gH=2×9.8×1.5N=1626.7kN N t0.01
4. 电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，外壳与定子的总质量为m1。质心位于转轴的中心O1，转子质量为m2，转子的质心O2到O1的距离为e。若转子匀速转动，角速度为w。求基础的支座的反力。
解：解法一：先写出xc、yc，求导得acx、acy，代入方程求力。
m2esinωtm2ecosωt xC=yC=m1+m2m1+m2
(m+m)a=F (m1+m2)aCx=Fx-(m+m)g12Cyy12 Fx??m2e?2sin?t 2F?(m?m)g?me?cos?ty122
解法二：先求出各ai，用质心运动定理来求力 aC1?0 2e2a?e??masin?t?FΣma=∑FF=meωsinωtC22CxiCi2x2i m2aC2cosωt=Fy-W1-W2Fy=m2eω2cosωt+W1+W2第三篇 动力学
5. 在上例中若电动机没有用螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电动机静止，求转子以匀角速度转动时电动机外壳的运动。
解：系统水平方向质心运动守恒
∑miΔxi=0
-m1x+ m2(esinωt-x) = 0
m2x? m?mesin?t12 x
6. 质量为3kg, 倾角为30°的斜面C可在光滑水平轨道上运动，物块A的质量mA?6kg，轮O的质量不计。当A在斜面无初速地下滑过0.4m时，斜面在水平轨道上滑过的距离为0.2m，求物体B的质量。
图16-2
解：如图16-2所示，作用在质点系上的外力在某水平轴x上的投影为零， 系统质心初速度为0。由质心运动守恒定理可知，当物块A在斜面上滑动时，系统质心在水平轴x上的坐标不变。即
mA?xA?mB?xB?mC?xC?0
?xA?sC?sAcos300，?xB??xC?sC，所以物体B的质量
mAΔxA+mCΔxC6×(0.2-0.4×cos300)+3×0.2mB=-=-kg=1.4kgΔxB0.2动量矩定理
7. 重物A和B的质量分别为mA?10kg,mB?15kg，通过质量不计的绳索缠绕在半径为r1和r2的塔轮上，其中r1?0.12m，r2?0.18m，塔轮的质量不计，如图10-7所示。系统在重力作用下运动，求塔轮的角加速度。
解：由于mAr1 统，对垂直于圆盘平面的转轴O应用动量矩定理。设v为物体A、B的瞬时速度，ω为圆盘的角速度，有以下关系： vA??r1，vB??r2 计算系统对O轴的动量矩 H0?mAvAr1?mBvBr2?(mAr12?mBr22)? 系统外力对O轴的力矩为 Mo?mBgr2?mAgr1 根据动量矩定理 dHo?Modt 22(mr?mr)??(mBr2?mAr1)g A1B2得 图16-3 求得塔轮的角加速度 ??mBr2?mAr115?0.18?10?0.12g??9.8rad/s2?23.3rad/s2 2222mAr1?mBr210?0.12?15?0.18 8. 图示的调速器中，长为2a的水平杆AB与铅垂轴固连，并绕z轴转动。其两端用铰链与长为 l的细杆 AC、BD相连，细杆端部各有一重力为G的球。起初两球用线相连，杆AC、BD位于铅垂位置。当机构以角速度?0绕铅直轴转动时，线被拉断。此后，杆AC、BD各与铅垂线成?角。若不计各杆重力，且此时转轴不受外力矩作用，求此系统的角速度?。 解：由质点系动量矩守恒定律知， 绳拉断前后系统对z轴的动量矩不变。 绳拉断前系统的动量矩为： 绳拉断后系统的动量矩为： 由Lz= L'z得 绳拉断后系统的角速度为：
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