2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、选择题（每小题6分,共36分）
1、若函数f?x??lgax2?4x?a?3的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）. A、?4,??? ；B、?0,4?；C、?0,4?；D、???,?1???4,???．
??ax2y22、设a?b?1，?b?0?，若直线ax?by?2和椭圆??1有公共点，则的取值范
b6222围是（ ）.
?11?A、??,?； B、??1,1?； C、???,?1???1,???； D、??2,2?.
?22?3、四面体ABCD的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知AB?41，则CD? . A、7 ； B、13 ； C、18 ； D、27．
4、若对所有实数x，均有sinkx?sinkx?coskx?coskx?cosk2x，则k?（ ）. A、6； B、5； C、4； D、3．
5、设an?2?7??2n?1，bn是an的小数部分，则当n?N*时，anbn的值（ ）．
A、必为无理数；B、必为偶数；C、必为奇数；D、可为无理数或有理数．
6、设n为正整数，且3n?1与5n?1皆为完全平方数，对于以下两个命题：
（甲）.7n?13必为合数；（乙）.8?17n2?3n?必为两个平方数的和. 你的判断是（ ）
A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分）
x2y27、?1所截出的弦的中点恰为P，过点P?1,1?作直线l，使得它被椭圆?则直线l的
94方程为 .
8、设x?R，则函数f?x??x2?1??x?12?2?16的最小值为 . 9、四面体ABCD中，面ABC与面BCD成600的二面角，顶点A在面BCD上的射影H是
?BCD的垂心，G是?ABC的重心，若AH?4，AB?AC，则GH? ．
10、sin200?sin400?sin800? . 11、数列?an?满足：a1?1，且对每个n?N*，an,an?1是方程x2?3nx?bn?0的两根，则
?bk?120k? .
12、从前2008个正整数构成的集M??1,2,?,2008?中取出一个k元子集A，使得A中任
两数之和不能被这两数之差整除，则k的最大值为 ． 三、解答题：
13、（20分）AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，（AB?AC），I1,I2分别是
?ABD,?ACD的内心，?AI1I2的外接圆?O分别交AB,AC于E,F，直线EF,BC交于点M；
证明：I1,I2分别是?ODM的内心与旁心．
14、（20分）设x,y,z为非负实数，满足xy?yz?zx?1，证明：
1115???． x?yy?zz?x2
15、（20分）对于2n元集合M??1,2,?,2n?，若n元集A??a1,a2,?,an?，
B??b1,b2,?,bn?满足：A?B?M,A?B??，且?ak??bk，则称A?B是集M的一
k?1k?1nn个“等和划分”（A?B与B?A算是同一个划分）．
试确定集M??1,2,?,12?共有多少个“等和划分”．
2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、选择题（每小题6分,共36分）
1、若函数f?x??lgax2?4x?a?3的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）. A、?4,??? ；B、?0,4?；C、?0,4?；D、???,?1???4,???．
??答案：B．
解：欲使f?x?的值域为R，当使真数ax2?4x?a?3可取到一切正数，故或者a?0；或者a?0且42?4a?a?3??0，解得0?a?4
ax2y22、设a?b?1，?b?0?，若直线ax?by?2和椭圆??1有公共点，则的取值范
b6222围是（ ）.
?11?A、??,?； B、??1,1?； C、???,?1???1,???； D、??2,2?.
?22?答：C． 解：将y?2?ax代入椭圆方程并整理得，?3a2?b2?x2?12ax?12?6b2?0， b2因直线和椭圆有公共点，则判别式?12a??4?3a2?b2??12?6b2??0，利用
a2?b2?1，化简得a2?b2，所以
aa?1．即????,?1???1,???．
bb3、四面体ABCD的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知AB?41，则 CD? . A、7 ； B、13 ； C、18 ； D、27． 答案：B.
解：四面体中，除CD外，其余的棱皆与AB相邻接，若长13的棱与AB相邻，不妨设
BC?13，据构成三角形条件，可知AC??7,18,27?，?AC?36, ?BD?7，
??AD,CD???18,27?，于是?ABD中，两边之和小于第三边，矛盾。
因此只有CD?13.另一方面，使AB?41,CD的四面体ABCD可作出，例如取?13故选BC?7,AC?36,BD?18,AD?.27B
4、若对所有实数x，均有sinkx?sinkx?coskx?coskx?cosk2x，则k?（ ）.
A、6； B、5； C、4； D、3．
答：D .
解：记f?x??sinkx?sinkx?coskx?coskx?cosk2x ，则由条件，f?x?恒为0，取x?得sin?2，
k???k????1?，则k为奇数，设k?2n?1，上式成为sin?n?????1，因此n为偶数，22??令n?2m，则k?4m?1，故选择支中只有k?3满足题意．
5、设an?2?7??2n?1，bn是an的小数部分，则当n?N*时，anbn的值（ ）．
A、必为无理数；B、必为偶数；C、必为奇数；D、可为无理数或有理数． 答：C．
解：令u?2?7,v?2?7，则u?v?4,uv??3，u,v是方程x2?4x?3的两根，
?1?2则u2?4u?3,v2?4v?3，所以当n?2时，un?4un，令?3un,vn?4v?n1?3v?n2Sn?un?vn，则当n?2时，Sn?Sn?1?Sn?2,S0?2,S1?4，故所有Sn为偶数，
?7?2??u因0??7?2??1，所以?ab??7?2???7?2?7?22n?1???2n?12n?1?v2n?12n?1?S2n?1?2k，
?7?2?2n?1?2k???7?22n?1?2n?1，
2n?17?2?为an的小数部分，即bn??7?2，
2n?12n?1nn?32n?1?奇数．
6、设n为正整数，且3n?1与5n?1皆为完全平方数，对于以下两个命题：
（甲）.7n?13必为合数；（乙）.8?17n2?3n?必为两个平方数的和. 你的判断是（ ）
A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 答案:C
解：设3n?1?a2, 5n?1?b2，a,b为正整数；则
7n?13?9?3n?1??4?5n?1???3a???2b???3a?2b??3a?2b??○1，
22由此知，3a?2b为正整数，且3a?2b?1，因为若3a?2b?1，则
27n?9??3a???2b?1??4b2?4b?1，即27n?4?n2?n?2?，则4n，记
22n?4k，得5n?1?20k?1不为平方数，矛盾！所以3a?2b?2，故由○1得，
7n?13为合数；又因为8?17n2?3n?????3n?1???5n?1?????4?3n?1???5n?1???
22?2?22???a?b2a?b?2a?b??????ab?，故选C.（例如65是上述n之一）. ????222二、填空题（每小题9分，共54分）
x2y27、?1所截出的弦的中点恰为P，过点P?1,1?作直线l，使得它被椭圆?则直线l的
94方程为 . 答案：4x?9y?13．
解：设直线l的方程为y?k?x?1??1，代入椭圆方程，整理得，
?9k2?4?x2?18k?1?k?x?9k2?18k?27?0，设其两根为x1,x2，则
即?x1?x2?1， 218k?1?k?44ly???2,k??，所以直线的方程为?x?1??1，即4x?9y?13
99k2?498、设x?R，则函数f?x??x2?1??x?12?2?16的最小值为 . CPAB答案：13.
解：如图，取A为数轴原点，AB?12，再作AB垂线AC,BD，使
AC?1,BD?4，在数轴上取点P，使 AP?x，则
DEf?x??CP?DP，当C,P,D共线时，f值最小，此时fmin?CD?AE?122?52?13.
9、四面体ABCD中，面ABC与面BCD成600的二面角，顶点A在面BCD上的射影H是
?BCD的垂心，G是?ABC的重心，若AH?4，AB?AC，则GH? ．
答案：421． 9
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