式（ 6 ）中， 为第二缓和曲线长。
，为 M 点至 HZ 点的曲线长； R 为圆曲线半径，
再由坐标系变换公式可得：
（ 7 ） 式（ 7 ）中 f
为符号函数，线路右转时取“ - ”，左转取“ + ”。 （3）单圆曲线（ZY—YZ）上点的坐标计算
单圆曲线可看作是带缓和曲线圆曲线的特例，即缓和曲线段长为零。令式（ 3 ）（ 4 ）中内移值 p 、切线增长 q 、第一缓和曲线长
、缓和曲线角
为零，计算出单圆曲线上各点的局部坐标后，由式（ 5 ）可得 ZY~YZ 上各点的统一坐标。
图 12 第二缓
和曲线段点坐标计算（右转） 图 13 非完整缓和曲线段点坐标计算（右转） 3、非完整曲线上点的坐标计算
如图 13 所示，设非完整缓和曲线起点 Q 的坐标为（ 曲率半径 曲率半径
，切线沿前进方向的坐标方位角为 ，则 Z 点至 Q 点曲线长
,
），桩号
，，
；其终点 Z 的桩号 。若
>
，则该曲线可看后的剩余部
成是曲率半径由 ∞ 到 的缓和曲线去掉曲率半径由 ∞ 到
分。设 N 点为该曲线上一点， N 点至 Q 点的曲线长为 和曲线的起点， Q 点至 O 点的曲线长为 率半径与曲线长成正比的性质，有：
； O 为对应完整缓
，则由回旋型缓和曲线上任一点曲
得： （ 8 ）
设 ，则由缓和曲线的切线角公式及偏角法计算公式知：
（ 9 ）
（ 10 ）
由图 13 知：
（ 11 ）
（ 12 ）
则直线 QO 的坐标方位角为： O点切线方向
（ 13 ） 轴的坐标方位角
为：
（ 14 ）
式（ 13 ）（ 14 ）中， f 为符号函数，线路右转时，取“ - ”；线路左转时，取“ + ”。 故 O 点坐标（
）为：
（ 15 ） 将式（14）、（15）代入坐标平移旋转公式，得任一
点 N 的坐标为：
（ 16 ） 式（ 16 ）中，（
）按式（ 2 ）计算，代入时 用（
，
）替代； f 为符号函数，右转取
“ + ”左转取“ - ”。
（三）边桩坐标计算
有了中桩坐标（ x,y ）及其至左、右边桩的距离 d L 、 d R 后，计算出中桩至左、右边桩的坐标方位角 AZ-L 、 AZ-R ，则由式（ 17 ）、（ 18 ）得左、右边桩坐标（
,
）、（
,
）。
（ 17 ） （ 18 ） 1、直线上点 AZ-L 、 AZ-R
的计算
从图 10 a ） b ）知：
（ 19 ） 2、第一缓和曲线及圆曲线段点 AZ-L 、 AZ-R
的计算
如图 10 a ） b ）所示，有：
（ 20 ） 式（ 20 ）中，当 K 点位于第一缓和曲线上，
按式（ 9 ）计算；当 K 点位于圆曲线段，按式（ 4 ）计算。 f 为符号函数，右转取“ + ”，左转取“ - ”。
3、第二缓和曲线段点AZ-L 、 AZ-R 的计算 如图 12 所示，有：
（ 21 ） 式（ 21 ）中， 按式 计
算； f 为符号函数，右转取“ - ”，左转取“ + ”。 （四）算例
如图 13 设某高速公路立交匝道 ( 右转 ) 的非完整缓和曲线段起点 Q 的桩号 K8+249.527 ，曲率半径 R Q = 5400m ，切线沿前进方向的坐标方位角
， 坐标为（ 91412.164 ， 79684.008 ）；终点 Z 桩号 K8+329.527 ，
曲率半径 R Z = 1800m 。中桩 K8+309.527 到左、右边桩的距离 d L = 18.75m ，
d R = 26.50m ，试计算 K8+309.527 的中、边桩坐标。 1、完整缓和曲线起点 O 的计算 由公式（ 8 ） —（ 15 ）计算得：
，
，
，
，
，
， 。
，
2、中桩坐标的计算
由式（ 2 ）（ 14 ）（ 16 ）计算得： 轴的坐标方位角
；
，
m ， 。
m ；
3、边桩统一坐标的计算 由式（ 9 ）（ 20 ）得： 式（ 20 ）中 Ai-1-i 即
，
；
，
，
。再由式（ 17 ）（ 18 ）得 。
轴的坐标方位角
，
（五）小结
通过坐标转换的方法，在传统测设的各个局部坐标系与线路统一坐标系间
建立了纽带，通过编程能实现各个中桩边桩坐标的同步计算。对于复曲线、回头曲线、喇叭形立交、水滴形立交等复杂线形，可将其分解成直线、非完整非对称缓和曲线、圆曲线形式，再按文中的方法进行计算。
用线路统一坐标进行放样，测设灵活方便，不必在实地标定交点（ JD ）位置，这对于交点位于人无法到达的地方（如山峰、深谷、河流、建筑物内），是十分方便的。应用中，以桩号 L 为引数，建立包括中桩、边桩、控制点在内的坐标数据文件。将坐标数据文件导入全站仪或 GPS 接收机，应用坐标放样功能，便可实现中、边桩的同时放样。特别是 GPS 的 RTK 技术出现后，无需点间通视，大大提高了坐标放样的工作效率，可基本达到中、边桩放样的自动化。
第三章 建筑施工点位坐标计算及放样方法 一、平面坐标系间的坐标转换公式
如图 14 ，设有平面坐标系 xoy 和 x'o'y' （左
手系—— x 、 x' 轴正向顺时针旋转 90°为 y 、 y' 轴正向）； x 轴与 x' 轴
间的夹角为θ（ x 轴正向顺时针旋转至 x' 轴正向，θ范围： 0°— 360°）。设 o' 点在 xoy 坐标系中的坐标为（ xo',yo' ），则任一点 P 在 xoy 坐标系中的坐标（ x,y ）与其在 x'o'y' 坐标系中的坐标（ x',y' ）的关系式为：
在建筑施工中，上面的平面坐标系 xoy 一般多为城市坐标系，平面坐标系 x'o'y' 一般多为建筑施工坐标系 AOB ；若 xoy 、 x'o'y' 均为左手系，则用上式进行转换；但有时建筑施工坐标系 AOB 会出现右手系—— x' （ A ）轴正向逆时针旋转 90°为 y' （ B ）轴正向。此时，应注意上面的计算公式变为：
二、建筑基线测设及角桩定位 如图 15 ，选择 100m × 35m 的一个开阔场地作为实验场地， 先在地面上定出水平距离为 55.868m 的两点，将其定义为城建局提供的已知导线点 A5 、 A6 ，其中 A5 同时兼作水准点。
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