∴∠ODB＝∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB＋∠DBF＝90°， ∴∠ABC＋∠DBF＝90°， 即∠OBD＝90°， ∴BD⊥OB， ∵OB为⊙O的半径， ∴BD是⊙O的切线；
(2)证明：连接AC，如解图①所示： ∵OF⊥BC， ︵︵∴BE＝CE， ∴∠ECH＝∠CAE， ∵∠HEC＝∠CEA， ∴△CEH∽△AEC， CEEA∴EH＝CE， ∴CE2＝EH·EA；
(3)解：连接BE，如解图②所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°，
3∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝5，
第6题解图② 第6题解图①
3
∴AB＝10，BE＝AB·sin∠BAE＝10×5＝6， 在Rt△AEB中，EA＝AB2－BE2＝102－62＝8，
︵︵∵BE＝CE， ∴BE＝CE＝6， ∵CE2＝EH·EA， CE2629∴EH＝EA＝8＝2，
在Rt△BEH中，BH＝BE＋EH＝7. (1)证明：连接OD，如解图①， ∵AD平分∠BAC交⊙O于D， ∴∠BAD＝∠CAD， ︵︵∴BD＝CD， ∴OD⊥BC， ∵BC∥DF， ∴OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线；
(2)解：连接OB，连接OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如解图①，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°， 又∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形， ∴∠ODB＝60°，OB＝BD＝23， ∴∠BDF＝30°， ∵BC∥DF， ∴∠DBP＝30°，
第7题解图①
229215
6＋（2）＝2. 2
1
在Rt△DBP中，PD＝2BD＝3，PB＝3PD＝3， 在Rt△DEP中， ∵PD＝3，DE＝7，
∴PE＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP⊥BC， ∴BP＝CP＝3，
∴CE＝CP－PE＝3－2＝1， 易证得△BDE∽△ACE， BEDE57∴AE＝CE，即AE＝1， 57
∴AE＝7. ∵BE∥DF， ∴△ABE∽△AFD，
577BEAE5
∴DF＝AD，即DF＝，解得DF＝12，
12771
在Rt△BDH中，BH＝2BD＝3， ∴S阴影＝S△BDF－S弓形BD ＝S△BDF－(S扇形BOD－S△BOD)
60·π·（23）2132
＝2·12·3－＋·(23) 3604＝93－2π；(7分)
(3)解：连接CD，如解图②，
AB4
由AC＝3可设AB＝4x，AC＝3x，BF＝y，
︵︵∵BD＝CD， ∴CD＝BD＝23， ∵DF∥BC，
∴∠F＝∠ABC＝∠ADC， ∴∠FDB＝∠DBC＝∠DAC， ∴△BFD∽△CDA， BDBF23y∴AC＝CD，即3x＝，
23∴xy＝4，
∵∠FDB＝∠DBC＝∠DAC＝∠FAD， 而∠DFB＝∠AFD， ∴△FDB∽△FAD， DFBF∴AF＝DF， ∵DF＋BF＝8， ∴DF＝8－BF＝8－y， 8－yy∴＝， y＋4x8－y整理得：16－4y＝xy， ∴16－4y＝4，解得y＝3， 即BF的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合 针对演练
1. (1)证明：连接OE，过点O作OF⊥PN，如解图所示， ∵PM与⊙O相切， ∴OE⊥PM，
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