2019年北京中考数学试题及答案(解析版)

{题目}26．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?bx?1与y轴交于点A，a将点A向右平称2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴：

11（3）已知点P(,?)，Q（2.2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a

2a的取值范围．

{解析}本题是一道与二次函数图像有关的压轴题，解题时要画图分析.（1）先将x=0代入抛物线的解析式求得点A的坐标，再根据平移规律求得点B的坐标；（2）根据抛物线的对称性求解；（3）画出函数图像求解，注意由于点A和P的纵坐标相等，点B和点Q的纵坐标相等，故抛物线不能同时经过点A和P，也不能同时经过点B和Q. {答案}解：（1）将x=0代入y=ax+bx-2

111,得y=-,∴点A的坐标为（0，-）. aaa∵点B的坐标为（2，-

1）. a11）和点B（2，-）, aa（2）∵抛物线经过点A（0，-∴抛物线的对称轴为x=1. （2）①当a＞0时，-

1＜0.根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A和点P，也不能a同时经过点B和点Q，所以此时抛物线与线段PQ没有交点；

1＞0.根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A和点P；当点Q在点Ba11上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时-≤2，即a≤-.

a21综上可知，当a≤-时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.

2②当a＜0时，-{分值}6

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:算术平均数}

{考点:含参系数的二次函数问题}

{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究} {难度:5-高难度}

{题目}27．（2019年北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM．满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1：

（2）求证：∠OMP = ∠OPN：

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON= QP，并证明．

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BB

{解析}本题是考查了图形的旋转与中心对称、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识.（1）根据题意画图即可；（2）在△OMP中根据三角形内角和定理可知∠OMP=150°-∠OPM，而∠OPN=1 50°-∠OPM，故∠OMP=∠OPM；（3）求出当ON=PQ时x的值即可. {答案}解：（1）如图所示：

OHAOHA

（2）在△OMP中，∵∠AOB=30°，∴∠OMP=150°-∠OPM. ∵∠MON=150°，∴∠OPN=150°-∠OPM，∴∠OMP=∠OPM.

（3）如图，过点P作PK⊥OA，过点N作NF⊥OB，垂足分别为K,F. ∴∠PKM=∠NFP=90°.

∵∠OMP=∠OPM，∴∠PMK=∠NPF. ∴△PMK≌△NPF.

∴MK=PF,∠MPK=∠PNF，PK=NF. 假设ON=PQ，∴Rt△NOF≌Rt△PQK. ∴KQ=OF.

设MK=y，PK=x.

在Rt△OPK中，∵∠AOB=30°，∴OP=2x，PN=3x.

∴OM=3x-y,OF=2x+y，MH=3+1-3x+y,KH=3+1-3x. ∵点M与Q关于H对称，

∴MH=HQ，∴KQ=KH+HQ=23+2-23x+y. ∵KQ=OF，∴23+2-23x+y=2x+y，解得x=1. ∴OP=2x=2.

{分值}7

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:三角形内角和定理} {考点:全等三角形的判定HL}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:全等三角形的性质}

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{考点:含30度角的直角三角形} {考点:解直角三角形} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {难度:5-高难度}

?上的所有点都在{题目}28．（2019年北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE?为△ABC的中内弧，例如，下图中DE?是△ABC的一条中内弧 △ABC的内部或边上，则称DEADEB

（1）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝22，D，E外别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长

?，并直接写出此时DE?的长； 的中内弧DEACDE

（2）在平而直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0）. 在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点

1?所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围； ①若t=，求△ABC的中内弧DE2?，使得DE?所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接②若在△ABC中存在一条中内弧DE写出t的取值范围．

{解析}本题是一道新定义题，综合考查了等腰直角三角性的性质、弧长的计算、切线的性质、相似

?所在圆的圆心为P，当⊙P与BC相切于F时，中内弧DE?三角形的判定和性质等知识.（1）设DEBC最长，易证点P是DE的中点，∴PD=

111DE=1. lDE?2?r??2??1??.（2）分别求出⊙P与??222AB相切和⊙P与AC相切时yp的值，即可求出yp的取值范围；（3）求出⊙P分别与AC，BC相切时t

的值即可.

{答案}解：（1）如图所示：

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?的长为π. DE1（2）①当t=时，C（2,0），D（0,1），E（1,1）.

2如图，当⊙P与AB相切于点D，yp=1；如图，当⊙P与AC相切于点E，yp=∴yp≥1或yp≤

11，∴yp≤. 221. 2

（3）0＜t≤2. {分值}7

{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例} {考点:等腰直角三角形} {考点:勾股定理} {考点:切线的性质} {考点:弧长的计算}

{考点:相似三角形的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）}

{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:新定义} {难度:5-高难度}

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