西南科技大学本科生毕业论文
故
rank(A??0E)?rank(J??0E)nkk
??0Ei)?rank(B??0Et)kk??arank(Jii?1ni
??a(i?k)?tii?1
k所以
bk?rank(A??0E)nk?1?rank(A??0E)n
?n?(?aii?t)?i?1n?ai?1i
??ai?1i
=A的属于特征根?0的若尔当块的个数。
bk?rank(A??0E)nk?1?rank(A??0E)nk
?
?a(i?k?ii?11?)?aii(?ki?kn)
)
?ak?1(k?1?k?1?)?aii?(k??1i?ki?kn
??ai?ki
nni所以
bk?bb?1??ai?k??i?k?1ai?ak ，即得所证。
如果利用矩阵的的初等变换来求若尔当标准形，其要点是对?E?A进行初等变换，求出
?E?A的不变因子。所以计算量是比较大的。用这种方法即使对于低价的矩阵也是比较复杂
的。所以我们可以利用定理3.21求矩阵A的若尔当标准形，求若儿的标准形的一般步骤为： 第一步：求A的特征多项式第二步：解方程
?A(?)?0?i?A(?)?|?E?A|；
?1,?2,?,?s，求出A的所有不同特征值：
nk?(?E?A)k。
第三步：对每一个，计算
及
bk,ak,k?1,2,?
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n0=n n1 n2，…，nk?1 nk nk?1…
b1b2b3
，…，bk bk?1… ，…，ak…
a1a2
则
aj就是A的属于特征值
?j的若尔当块的块数。
，写出相应的若尔当形矩阵J，这就是A的若尔当标准形。
第四步：按第三步所确定的
?13?A??6????616?7?8aj例3.21求矩阵
14???6??7??的若尔当典范型。
?16?146???13?A(?)?66??10???1?2?146??78??1???1??7?2??7
??1?A(?)?00??76?(??1)(??1)2??10即：
??1
J?(1)因为特征根为??1的重数为1，故A仅有一个1阶的属特征值??1的若尔当块1
对于???1，因为
?14?A?(?1)E??6???6?16?6?814??0???6?1????0?6??21?20??1,rank(A?E)?2?0??
因为特征根???1的重数是2。，故这个若尔当块为
??1J2???01???1?
从而A的若尔当标准形为：
?1?J?0???0?5?A??2??2?2016??3??2??0?100??1??1??
例3.22求矩阵
解 A的特征多项式
若尔当标准形。
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?A(?)???3??19??23?(??1)(??1?26)(??1?26)32
因A的特征多项式无重根，所以A可对角化。从而A的若尔当标准形就是由A的特征值所构成的对矫正。故A的若尔当标准形为
?1?J????1?26????1?26?
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3.3用循环向量法求若尔当形
定义3.31 设?0是n 阶方阵A的一个特征根，p0是A的属于特征根?0的特征向量，若有k 个非零向量p1,p2,?,pk为p0的循环向量。
命题1 某个特征向量的循环向量的个数加上1等于他所对应的若尔当块的阶数； 命题2 所有的特征向量和他们的循环向量组成演化矩阵P。
?1 证明 设n阶方阵A相似于若尔当标准形J，即有可逆矩阵P,使得PAP?J（即AP?PJ）。
其中，
?J1?J?????J2???k????Jk??????Jr??，而
1?k?????,(k?1,2,?,r),?,?,?,?12r1???k?是A的特征根。
A(p1,p2,?,pn)?(p1,p2,?,pn)J若设
p1,p2,?,pn是演化矩阵P的n个列向量，则
?k
Jk的左上角第一个位于若尔当标准形J的第
jk列
jk行，
Jk是
nk阶若尔当块，则由矩阵的
乘法可得：
Apjk?pjk?k,Apjk?1?pjk??kpjk?1Apjk?2?pjk?1??kpjk?2???Apjk?(nk?1)?pjk?(nk?2)??kpjk??nk?1?
于是：
(?kE?A)pjk?0;(?kE?A)pjk?1??pjk;(?kE?A)pjk?2??pjk?1;???(?kE?A)pjk?(nk?1)??pjk?(nk?2).
就是
pkpjk因此
pjk就是A的特征根
?k的一个特征向量，而向量
pjk?1,pjk?2,?,pjk?(nk?1)的循环向
量。所以A的特征向量的个数就是A 的若尔当块的个数r,第k个特征向量个数加上1就是A的第k个若尔当块的阶数化矩阵P。
nk的循环向量的
，所有的特征向量和他们的循环向量组成了演
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