专题限时集训(二十) 不等式与线性规划
[A组 高考题、模拟题重组练]
一、基本不等式
1．(2016·日照一模)若实数x，y满足xy＞0，则A．2－2 C．4＋22
2y的最大值为( )
x＋yx＋2y＋xB．2＋2 D．4－22
2
2
2yx＋2y＋4xyxyD [＋＝2＝1＋2 2
x＋yx＋2yx＋2y＋3xyx＋2y2＋3xy＝1＋1
. x2y＋＋3
xyxx2yx2y由xy＞0，得＞0，＞0，从而＋≥22，
yxyx所以11
≤＝3－22，
x2y3＋22＋＋3
y所以
x2y≤4－22，故选D.]
x＋yx＋2y＋x12
2．(2016·长沙一模)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )
abA.2 C．22
12
C [依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2B．2 D．4 2
abab＝22
ab12
，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”
ab1222
成立，因为＋＝ab，所以ab≥，即ab≥22，所以ab的最小值为22，故选C.]
abab3．(2016·东营一模)若2＋4＝4，则x＋2y的最大值是________.
【导学号：67722077】
2 [因为4＝2＋4＝2＋2≥22×2＝22
x2yxyxyx2yx2yx＋2y，所以2
x＋2y≤4＝2，即x＋2y≤2，当
2
且仅当2＝2＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.]
4．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan
C的最小值是________．
8 [在锐角三角形ABC中，∵sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，得tan
B＋tan C＝2tan Btan C.
tan B＋tan C2tan Btan C∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝.①
tan Btan C－1tan Btan C－1∵A，B，C均为锐角，
∴tan Btan C－1>0，∴tan Btan C>1. tan A由①得tan Btan C＝.
tan A－2
tan A又由tan Btan C>1得>1，∴tan A>2.
tan A－2∴tan Atan Btan C＝ tanA＝tan A－2＝(tan A－2)＋＝4时取得等号．
故tan Atan Btan C的最小值为8.] 二、线性规划问题
2
A－
＋
tan A－2
2
A－
＋4 44
＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A－2＝，即tan Atan A－2tan A－2
x＋y≤2，??
5．(2016·山东高考)若变量x，y满足?2x－3y≤9，
??x≥0，
则x＋y的最大值是
22
( )
A．4 C．10
B．9 D．12
2
C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x＋
?x＋y＝2，?
y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由?
??2x－3y＝9
2
2
2
2
2
得A(3，
－1)，由图易得(x＋y)max＝|OA|＝3＋(－1)＝10.故选C.]
x＋y－3≥0，??
6．(2016·浙江高考)若平面区域?2x－y－3≤0，
??x－2y＋3≥0
间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.C.35
532
2
B.2 D.5
夹在两条斜率为1的平行直线之
B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组
??x＋y－3＝0，???x－2y＋3＝0
??2x－y－3＝0，?
?x＋y－3＝0?
求得A(1,2)，联立方程组
求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且
斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|
＝2，故选B.] 2
7．(2016·北京高考)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( )
A．－1 C．7
C [作出线段AB，如图所示．
B．3 D．8
作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时，2x－y取最大值为2×4－1＝7.]
8．(2016·全国丙卷)设x，y满足约束条件2x－y＋1≥0，??
?x－2y－1≤0，??x≤1，
则z＝2x＋3y－5的最小值为________．
－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所25z示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时，
333
z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]
9．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最
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