高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)

第十章 曲线积分与曲面积分

曲线积分

一 基本概念

定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线L(AB)的积分：（2）空间曲线L(AB)的积分：

n??L(AB)f(x,y)ds?lim?(T)?0?f(?,?)?skkk?1nkkk?1k

L(AB)f(x,y,z)ds?lim?(T)?0?f(?,?,?k)?sk

(?k,?k)或其中?(T)表示分割曲线L(AB)的分法T的细度，即n段曲线弧长的最大值，(?k,?k,?k)是第k段弧上的任意一点。

物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L的质量，其中被积函数f(x,y)或f(x,y,z)表示曲线的线密度。

定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线L(AB)的积分：

?L(AB)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?lim?(T)?0?[f(?,?)?xkkk?1nk?f(?k,?k)?yk]

（2）空间曲线L(AB)的积分：

?L(AB)P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

?lim?(T)?0?[f(?,?,?kkk?1nk)?xk?f(?k,?k,?k)?yk?f(?k,?k,?k)?zk]

(?k,?k)是第k段其中?(T)表示分割曲线L(AB)的分法T的细度，即n段的最大弧长，

弧上的任意一点。

物理意义：第二类曲线积分表示变力F沿曲线L所作的功，被积函数P(x,y),Q(x,y)或

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)表示力F在各坐标轴上的分量。

二 基本结论

定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性

?L(AB)f(x,y)ds??LL(BA)f(x,y)ds．

L（2）线性性质 (1)

(2)

L?kf(x,y)ds?k?f(x,y)ds；

L?[f(x,y)?g(x,y)]ds???LL1f(x,y)ds??g(x,y)ds．

L（3）路径可加性 曲线L分成两段L1和L2（不重叠），则

f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds．

L2（4）弧长公式

?ds?L(L表示曲线L的弧长)．

L（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段L(AB)关于y轴对称，

?L(AB)f(x,y)ds存在，则

f(x,y)关于x是奇函数,??0,?L(AB)f(x,y)ds??2?f(x,y)ds，f(x,y)关于x是偶函数.

??L(OB)其中O点是曲线弧段L(AB)与y轴的交点．

定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性

?L(AB)P(x,y)dx???LL(BA)P(x,y)dx．

（2）线性性质 (1)

?kf(x,y)dx?k?f(x,y)dx；

(2) ?[f(x,y)?g(x,y)]dx??f(x,y)dx??LLLLg(x,y)dx．

（3）路径可加性 曲线L分成两段L1和L2（不重叠），则

?

Lf(x,y)dx??f(x,y)dx??f(x,y)dx．

L1L2定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）

dydz??dxP?Q?R?ds ?L(AB)L(AB)?dsds??ds(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ??Pdx?Qdy?Rdz??L(AB) ??L(AB)F? ds

其中cos?,cos?,cos?是曲线AB上的点的切线的方向余弦，且

dx?cos?ds,dy?cos?ds,dz?cos?ds

一般地，积分曲线的方向余弦是变量。但是，当积分曲线L(AB)是直线时，则L(AB)切线的方向余弦是一个常量。所以，当积分曲线是直线时，可能采用两类不同的曲线积分的转换。

定理4 （格林公式）

设D是由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在D上连续，则有

???Q?P?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??????dxdy L?x?x?D?其中L是围成区域D的正向边界曲线。

三 基本方法

1 计算第一类曲线积分（对坐标的曲线积分） 方法一：基本方法——转化为定积分

（1）用参数方程给出的积分曲线：x??(t)，y??(t)，a?t?b，则

b?L(AB)f(x,y)ds??f(?(t),?(t))??2(t)???2(t)dt

a（2）用一般方程给出的积分曲线：y?y(x)，a?x?b，则

b??L(AB)f(x,y)ds??f(x,y(x))1?y?2dx

a

（3）用极坐标方程给出的积分曲线：???(?)，?????，则

L(AB)f(x,y)ds??f(?(?)cos?,?(?)sin?)?2(?)???2(?)d?

??

22例1 计算I?xyds，L:x?y?1上半圆周。

?L22解（方法1）曲线的参数方程：x?cos?,y?sin?，0????，

ds?x?2?y?2d??d?，于是有

I?1?3!!??242cos?sin?d??2(cos??cos?)d??2(???)?。 ?0?0224!!2812dx，（方法2） 曲线的一般方程：y?1?x2，?1?x?1，ds?1?y?dx?21?x?22?于是有

I??x2(1?x2)??1111?x2dx??x21?x2dx?2?x21?x2dx。

?1011令x?sin?，则

? I?2822222例2 计算I??yds，L:(x?y)?4(x?y)的第一象限部分。

L?20sin2?cos??cos?d???。

解 令x?rcos?,y?rsin?，则积分曲线的极坐标方程为：

42ds?r2?r?2d??d?，y?rsin??2sin?cos2?。

cos2?于是有

?r2?4cos2?,0????（第一象限部分）, r?2cos2?,r???2sin2?，

cos2? I??40?22sin?cos2??d??4?4sin?d???4cos?0cos2??40?2??4??1?2??。

??方法二：基本技巧——利用第一类曲线积分性质

例3 计算I??L(x?y)2ds，其中L:x2?y2?4。

解 根据曲线积分的线性性质，有

I??(x?y)2ds??(x2?y2)ds??2xyds。

LLL根据性质（4）和（5），

?根据奇偶性和对称性，

LL(x2?y2)ds??4ds?4L?4?2??2?16?，

L2?2xyds?0，于是

I??(x?y)ds?16?。

L2222例4 计算I?(x?1)ds，L:x?y?z?4与x?y?z?0相交的圆周。

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