解 解①得4mx＜11，③
解②得 3mx＞8． ④
(1)当m=0时，③，④变为原不等式组无解．
(2)当m＞0时，③，④变形为
(3)当m＜0时，由③，④得
练习六
1．解下列不等式或不等式组：
第七讲 含绝对值的方程及不等式
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．
一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：
含绝对值的不等式的性质：
(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜； (3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．
由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．
例1 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．
分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零
掉绝对值符号再求解．
解(1)当x≥2时，原方程化为 (x-2)+(2x+1)=7，
-(x-2)+(2x+1)=7．
应舍去．
-(x-2)-(2x+1)=7．
说明 若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．
例2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．
为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．
｜x-(2x+1)｜=3，
即 ｜1+x｜=3， 所以 x=2或x=-4．
即｜3x+1｜=3，
｜x+(2x+1)｜=3，
的个数为2．
例3 若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？ 解 若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a， 所以 ｜x-2｜=1±a．
(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．
(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得x=1-a或x=3+a； 由｜x-2｜=1-a，求得x=1+a或x=3-a．
原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解． 综上可知，a=1．
例4 已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．
解 设x为方程的负根，则-x=ax+1，即 所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．
设方程有正根x，则x=ax＋1，即
所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．
综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．
例5 设 求x+y．
分析 从绝对值的意义知
两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．
解 由题设有
把③代入①得
解之得y=-3，所以x=4．故有x+y=4-3=1．
例6 解方程组
分析与解 由①得x-y=1或x-y=-1，即 x=y+1或x=y-1． 与②结合有下面两个方程组
解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得 ｜y+1｜+2｜y｜=3．
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