2b＜1+a＜2a，
即b＜a成立．
分析与解 由题设可知x≥1，y≥2，z≥3，所以
又x≥3时，
也不成立，故x只能为2． 当x=2时，
令y=3，则z=6． 当 x=2，y≥4时，
不成立．
故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6．
例11 某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中， A， B两校共16名；B，C两校共 20名； C， D两校共34名，
并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．
解 设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u．据题意有
由①，②可知，x+y＜y+z，所以x＜z．又由于人数的多少是按A，B，C，D四校的顺序选派的，所以有x＜y＜z＜u．
由①与x＜y得16-y=x＜y，所以y＞8．由②与y＜z得20-y=z＞y，所以y＜10．于是8＜y＜10，所以y=9(因为人数是整数)．将y=9代入①，②可知x=7，z=11，再由③有u=23．
故A校7人，B校9人，C校11人，D校23人．
注意到x只能取1，2，3，4，…，9这九个数字，所以x=2，所以
所以y=1，z=4． 所以x=2，y=1，z=4．
练习八
1．如果a＜b＜c，并且x＜y＜z，那么在四个代数式 (1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy； (3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy 中哪一个的值最大？
2．不等式10(x+4)+x＜62的正整数解是方程
2(a+x)-3x=a+1
3．已知y=｜x+2｜+｜x-1｜-｜3x-6｜，求y的最大值．
4．已知x，y，z都为自然数，且x＜y，当x+y=1998，z-x=2000时，求x+y+z的最大值．
5．若x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，xyz＞0，试证：x＞0，y＞0，z＞0．
能
值之和是多少？
第九讲 “设而不求”的未知数
让我们先看一道简单的数学题．
三角形的面积．
解 设这个三角形的斜边长度为c，因为斜边上的中线长是1，所以斜边长c=2．再设两条直角边的长度是a，b，面积是S，那么
a2+b2+2ab=6． ④
把②，③代入④式得
4+4S=6，
在这个题目中，只要求出未知数S的值，而我们却设了三个未知数：a，b，S，并且在解题过程中，我们也根本没求a，b的值．但是由于增设了a，b后，给我们利用等量关系列方程及方程组求S的值，带来了很大的便利，像这种未知数(如a，b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数．
所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用． 例2若
求x+y+z的值．
分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比． 解 令
则有
x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，
所以
x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，
所以 x+y+Z=0．
说明 本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数． 例3 已知p，q，r都是5的倍数，r＞q＞p，且r=p+10，试求
解 不妨设p=5k1，q=5k2，r=5k3，由题意可知，k1，k2，k3都是整数．因为r＞q＞p，所以k3＞k2＞k1．又因为
r=p+10，
所以 5k3=5k1+10，
k3=k1+2， ①
所以 k1+2＞k2＞k1， 所以 k2=k1+1． ②
将①，②代入所求的代数式得
相关推荐：
loading