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三角函数的图象与性质
一、知识网络 二、高考考点
（一）三角函数的性质
1、三角函数的定义域，值域或最值问题；
2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性； 寻求对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象
1、基本三角函数图象的变换； 2、
型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出
型三角函数的周期以及难度较高的含有绝
的一段函数图象求函数解析式；
3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题.
（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点
（一）三角函数的性质 1、定义域与值域
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2、奇偶性
（1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx； 偶函数：y＝cosx. （2）
（ⅰ）g（x）＝g（x）为偶函数
型三角函数的奇偶性
（x∈R）
由此得 同理， （ⅱ）
为偶函数 .
3、周期性 （1）基本公式
； 为奇函数
；
为奇函数
.
（ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinx，y＝cosx的周期为cotx的周期为 （ⅱ）
.
型三角函数的周期
； y＝tanx，y＝
的周期为 ；
（2）认知 （ⅰ）
型函数的周期
的周期为 .
的周期为 ； 的周期为 .
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（ⅱ） 的周期 的周期为
； 的周期为
均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为
.
的解析式施加绝对值后，
型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.
（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究
（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ； （ⅱ） 的最小正周期为 ；
（ⅲ）y＝sinx＋cosx的最小正周期为
44
. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性
（1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”：
①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；
②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）
循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.
揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝
型三角函数的单调区间
此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u＝
，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝
；
②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式； ③还原、结论：将u＝区间形成结论.
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代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或
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（二）三角函数的图象 1、对称轴与对称中心
（1）基本三角函数图象的对称性
（ⅰ） 正弦曲线y＝sinx的对称轴为对称中心为（
，0）
.
； 正弦曲线y＝sinx的
（ⅱ） 余弦曲线y＝cosx的对称轴为 ； 余弦曲线y＝cosx的对称
中心
（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为轴.
认知：
①两弦函数的共性： x＝
为两弦函数f（x）对称轴
＝0.
； 正切曲线y＝tanx无对称
为最大值或最小值；（ ，0）为两弦函数f（x）
对称中心
②正切函数的个性： （
，0）为正切函数f（x）的对称中心
＝0或
不存在.
（2） 型三角函数的对称性（服从上述认知）
或g（x）＝
为最值（最大值或最小值）；（
的图象
，0）为两弦函数g（x）
（ⅰ）对于g（x）＝x＝
为g（x）对称轴
＝0.
对称中心
（ⅱ）对于g（x）＝＝0或
不存在.
的图象（ ，0）为两弦函数g（x）的对称中心
2、基本变换
（1）对称变换 （2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移 3、y＝
（1）五点作图法
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的图象
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