固体物理习题第一章
1．题图1－1表示了一个由两种元素原子构成的二维晶体，请分析并找出其基元，画出其布喇菲格子，初基元胞和W－S元胞，写出元胞基矢表达式。
解：基元为晶体中最小重复单元，其图形具有一定任意性（不唯一）其中一个选择为该图的正六边形。 把一个基元用一个几何点代表，例如用B种原子处的几何点代表（格点）所形成的格子 即为布拉菲格子。 初基元胞为一个晶体及其空间点阵中最小周期性重复单元，其图形选择也不唯一。
其中一种选法如图所示。W－S也如图所示。 左图中的正六边形为惯用元胞。
2.画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 解： 名称 分子式 结构 惯用元胞 布拉菲格初基元胞惯用元胞中配位数 子 中原子数 原子数 氯化钾 氯化钛 硅 砷化镓 KCl TiCl Si GaAs NaCl 教材图1－结构 17（b） 氯化铯 图1－18 结构 金刚石 图1－19 闪锌矿 图1－20 教材fcc图1－12 s.c f.c.c f.c.c 2 2 2 2 2 5 2 1 1 8 2 8 8 8 5 6 2 4 6 8 4 4 4 2.6.12 12 8 12 SiC f.c.c 碳化硅 闪锌矿 图1－20 LiTaO3 钙钛矿 s.c 钽酸锂 图1-21 Be hcp 铍 图1－24 简单六角 Mo bcc b.c.c 钼 Pt fcc f.c.c 铂 基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。 11.对于六角密积结构，初基元胞基矢为
???a?a?a1=(i?3j a2?(?i?3j
22?求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
解： j? 正空间 倒空间 j? i i (A) (B) 由倒格基失的定义，可计算得
??2?a2?a32??1?b1?(i?j) =
?a3???2?a3?a12??1?b2??(?i?j
?a3???2?a1?a22??b3??k
?c???正空间二维元胞（初基）如图（A）所示，倒空间初基元胞如图（B）所示
b2组成的倒初基元胞构成倒空间点阵，具有C6操作对称性，而C6对称性是六（1）由b1、角晶系的特征。
??????a2构成的二维正初基元胞，与由b1、b2构成的倒初基元胞为相似平行四边形，（2）由a1、故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。
12．用倒格矢的性质证明，立方晶格的（hcl）晶向与晶面垂直。
证：由倒格矢的性质，倒格矢Ghkl?hb1?kb2?lb3垂直于晶面（h、k、l）。由晶面向定义（h、k、l）晶向，可用矢量A表示。A＝ha1?ka2?la3， 倒格基矢的定义 b1??????????????2?(a2?a3)
?????? b2?2?(a3?a1)2?(a1?a2) b3?
????????????||b1,a2||b2, 在立方晶格中，可取a1、a2、a3相互垂直且a1?a2?a3,则可得知a1biai?a3||b3, 且??b1?=|b2|=?b3? 设????????=m（为常值，且有量纲，即不为纯数）
则 Ghkl?m(ha1?ka2?la3）＝mA
???则 Ghkl与A平行。 证毕
若以上正、倒基矢，换为正、倒轴矢，以上证明仍成立，则可用于fcc和bcc晶格。
????b、c构成简单正交系，证明。晶面族（h、k、l）的面间距为 13.若轴矢a、 dhkl?21
h2k2l2(a)?(b)?(c)b、c交于 证1：把原点选在该面族中任意一晶面上任一点，设相邻晶面分别与正交系a、???abc、、处，同一晶面族中，相邻晶面的面间矩相同，故只要求得原点与相邻晶面的距离即hkl可。由平面的截距式方程，可把该晶面方程写为；
xah?ybk?zcl?1
又由点面间矩离的公式，可求得原点与该晶面的距离 d=
1()?()()h2ak2l2bc
由该式可知，面指数（h、k、l）为小值的晶面族，面间距d大，，面间距d大，则相邻二个
面上的原子间的作用力就小，致使沿着该方向容易解理（劈裂）。 证2：若正空间基矢为简单正交，由倒格基矢的定义aj?bj=2??ij，则对应的倒格基矢
??b1、b2、b3也构成正交系。
??????b2、b3相互正交。 晶面族（h k l）对应的倒格矢Ghkl?hb1?kb2?lb3 因为b1、2222h2k2l2所以?Ghkl??(hb 1)?(kb2)?(lb3)=(2?)(a)?(a)(a)123???2??（注：这里a1、?a a2?b a3?c） 由倒格矢的性质 dhkl=2?Ghkl?1()?()?()ka2h2a12l3a3 the end
16、用X光衍射对Al作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54?反射角为?=19.20 求面间距d111。
解：由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角 由布拉格公式 2dsin?=? d= d=
n? 对主极大 取n=1
2sin?1.54=2.34(?)
2?sin19.2017．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的； 2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程；
解：1〕由坐标空间劳厄方程： Rl?(k?k0)?2??
与正倒格矢关系 Rl?kh?2?? 比较可知：若 kh?k?k0 成立 即入射波矢k0，衍射波矢k之差为任意倒格矢kh，则k方向产生衍射光，kh?k?k0式
称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。 k θ kh θ k0 现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg公式，弹性散射 k?k0
由倒格子性质，倒格矢kh垂直于该晶面族。所以，kh的垂直平分面必与该晶面族平行。 由图可得知：|kh|＝2KSin?＝
'h4??Sin? (A)
'h|＝
又若|k|为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：|K若kh不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性 |kh|＝n|kh|＝
'2? d2?.n （B） d比较（A）、（B）二式可得 2dSin?＝n? 即为Blagg公式。 2〕、倒空间劳厄方程 K?K0＝Kh 又称衍射三角形，由上图可知
因为是弹性散射 |K|＝|K0|该衍射三角形为等腰三角形，kh又为倒格矢，即kh二端均为倒格点。所以，入射波从任一倒格点出发，若指到任一倒格矢的中垂直面上时，才有可能满足衍射三角形，又由布里渊区边界的定义，可知，布里渊区边界即为倒格矢中垂直面，所以原命题成立。
18．在图1－49（b）中，写出反射球面P、Q两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。
解：由图1－49（b）所示， b1,b2
0P倒格矢＝－3b1－b2 对应的衍射晶面指数（－3，－1）化为（3，1） 0Q倒格矢＝－2b1 对应衍射晶面指数（－2，0）化为（1，0） 19．求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为
000,
110, 22111331, ,
44444411110, 0 2222313133,
444444
结构因子 Shkl＝ =f?1?ef?e???ei2?(hU??kV??lw?)
i?(3h?3k?l)2?i?(h?k)?ei?(k?l)i?(l?h)?ei?(h?k?l)2＋e?ei?(3h?k?3l)2?ei?(h?3k?3l)2?
前四项为fcc的结构因子，用Ff表示从后四项提出因子eShkl＝Ff＋f?e ＝Ff+Ffei?(h?k?l)2i?(h?k?l)2
?1?ei?(h?k)?ei?(h?l)?ei?(k?l)
?
?i?(h?k?l)2＝Ff?1+ei?(h?k?l)22衍射强度I?Shkl 2 Shk＝lFf1?e2?i?(h?k?l)2??·1?e2f?i?(h?k?l)2?=F?2?e2fi?(h?k?l)2?e?i?(h?k?l)2?
2 用尤拉公式Shkl?2F???1?cos(h?k?l)??
2??2讨论 1. 当h、K、l为奇异性数（奇偶混杂）时 Ff=0 所以Shkl＝0
2．当h、k、l为全奇数时
2222Sh?k?l?2Ff?2?(4f?)?32f?
3．当h、k、l全为偶数，且h+k+l＝4n (n为任意整数) Sh.k.l?2Ff(1?1)?4?16f??64f? 当h.k,l全为偶数，但h+k+l?4n则h+k+l＝2(2n+1)
22 Sh.k.l?2F?(1?1)?0
2222补充1.说明几何结构因子Sh和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。 解： 几何结构因子 Sh＝
???f?eis?R???
式中：f?为元胞内第?个原子的散射因子。 R?为元胞内第?个原子的位矢 若新坐标系相对原坐标系有一位移?r则 S＝???'h??f?eis?(R???r)???＝Sh?eis??r??
由于一般?eis??r'?1 所以Sh?Sn 即几何结构因子与坐标原点选取有关。
而衍射谱线强度正比与几何结构因子模的平方 I?S'2h＝（Sh?eis??r??)(Se??is??rh???)?Sh?Sh?Sh
2 所以谱线强度与坐标原点选取无关。
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