【考点】圆的综合题
【分析】（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证； （2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得得；
（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC﹣AC=AB?AC知BC=2DC=AC=3k、MC=BC=
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=，即BF?BG=BE?AB，将BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可
k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由
k，在Rt△COM中，
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k求得DM==k，可知OM=OD﹣DM=3﹣
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由OM+MC=OC可得答案．②设OM=d，则MD=3﹣d，MC=OC﹣OM=9﹣d，继而知BC=（2MC）=36﹣4d、AC=DC=DM+CM=（3﹣d）+9﹣d，由（2）得AB?AC=BC﹣AC，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 解：（1）∵四边形EBDC为菱形， ∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形， ∴∠A+∠D=180°， 又∠BEC+∠AEC=180°， ∴∠A=∠AEC， ∴AC=AE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
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由（1）知AC=CE=CD， ∴CF=CG=AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形， ∴∠G+∠AEF=180°， 又∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠G=∠BEF， ∵∠EBF=∠GBA， ∴△BEF∽△BGA， ∴
=
，即BF?BG=BE?AB，
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC， ∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB?AC，即BC﹣AC=AB?AC； （3）设AB=5k、AC=3k， ∵BC﹣AC=AB?AC， ∴BC=2
k，
2
2
2
2
连接ED交BC于点M， ∵四边形BDCE是菱形， ∴DE垂直平分BC， 则点E、O、M、D共线，
在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=∴DM=
∴OM=OD﹣DM=3﹣
=
k， k，
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2
2
k，
在Rt△COM中，由OM+MC=OC得（3﹣解得：k=∴BC=2
k=4
或k=0（舍）， ；
2
2
2
k）+（
2
k）=3，
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②设OM=d，则MD=3﹣d，MC=OC﹣OM=9﹣d， ∴BC=（2MC）=36﹣4d， AC=DC=DM+CM=（3﹣d）+9﹣d， 由（2）得AB?AC=BC﹣AC =﹣4d+6d+18 =﹣4（d﹣）+
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，
，
∴当d=，即OM=时，AB?AC最大，最大值为∴DC=∴AC=DC=∴AB=
2
，
， ，此时
=．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及
菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．
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