第6讲 正弦定理和余弦定理
配套课时作业
1．(2019·广西模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，则△ABC的面积等于( )
133A. B. C．1 D. 224答案 A
1解析 ∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA，∴sinB＝.∵ac＝3，∴△ABC31111
的面积S＝acsinB＝×3×＝.故选A.
2232
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB＜csinC，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 C
B．直角三角形 D．不确定
a2＋b2－c2
解析 根据正弦定理可得a＋b＜c.由余弦定理的推论得cosC＝＜0，故C2ab2
2
2
是钝角．
3．(2019·大连双基测试)△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝( ) A.3 36 3
B．±6 36 3
C．－D.
答案 D
解析 由正弦定理得
＝，∴sinC＝sinBsinC2
ACABAB·sinB2×sin60°3
＝＝，又AB 0 .故选D. 3 4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为 a2＋b2－c2 4A. ，则C＝( ) ππππ B. C. D. 2346 答案 C 1a＋b－c222 解析 由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a＋b－c＝2absinC.由余弦定理得 24 222 a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC.∵C∈(0，π)，∴C＝.故选C. 5．在△ABC中，“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的( ) A．必要不充分条件 C．充分不必要条件 答案 C 解析 在△ABC中，A＝π－(B＋C)， ∴cosA＝－cos(B＋C)． 又∵cosA＝2sinBsinC， 即－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC. ∴cos(B－C)＝0，∴B－C＝ π ， 2 B．充要条件 D．既不充分也不必要条件 π4 ∴B为钝角．即△ABC为钝角三角形． 若△ABC为钝角三角形，当A为钝角时，条件不成立．故选C. 6．(2019·南阳模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝( ) A. π3π5π2π B. C. D. 3463 答案 D 解析 因为3sinA＝5sinB， 5b由正弦定理可得：3a＝5b，所以a＝. 37b又b＋c＝2a，可得c＝2a－b＝， 3不妨取b＝3，则a＝5，c＝7， a2＋b2－c252＋32－721 所以cosC＝＝＝－. 2ab2×5×32 因为C∈(0，π)，所以C＝ 2π . 3 7．(2019·天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c， C＝2B，则cosC＝( ) A.7 25 7B．－ 25D.24 25 7C．± 25 答案 A 解析 ∵sinC＝sin2B＝2sinBcosB， sinCc4 ∴cosB＝＝＝， 2sinB2b5 72 ∴cosC＝cos2B＝2cosB－1＝.故选A. 25 8．(2019·河北省名校联考)△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a， bsinB－asinA＝asinC，则sinB的值为( ) A．－7371 B. C. D. 4443 1 2 答案 C 1a＋c－b22 解析 由正弦定理，得b－a＝ac，又c＝2a，所以b＝2a，所以cosB＝＝ 22ac2 2 2 2 2 37 ，所以sinB＝. 44 2 9．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则这个三角形是( ) 3A．锐角三角形 C．等边三角形 答案 B 242222 解析 将sinA＋cosA＝两边平方得sinA＋2sinA·cosA＋cosA＝，又sinA＋cosA395 ＝1，故sinAcosA＝－.因为0 18 10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，b＝2，则△ABC的面积的最大值是( ) A．1 B.3 C．2 D．4 答案 B 解析 ∵2bcosB＝acosC＋ccosA， 1 ∴2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∵0 2π. 3 B．钝角三角形 D．等腰直角三角形 a2＋c2－b2122 ∵cosB＝＝，b＝2，∴a＋c－4＝ac. 2ac2
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