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www.sunkongedu.com 得到本题结论． 解答： 解：∵a1=2， ∴当n=1时，（n+1）an=（1+1）a1=2×2=4， ∴数列{（n+1）an}的首项为4， ∵{（n+1）an}是以3为公差的等差数列， ∴（n+1）an=4+3（n﹣1）=3n+1， ∴an=． ． 故答案为：点评： 本题考查了等差数列通项公式的应用，本题难度不大，属于基础题． 三．解答题（共8小题） 23．（2009?海淀区自主招生）已知数列{an}，且Sn=na+n（n﹣1）， （1）求证：{an}是等差数列； （2）求所在的直线方程． 考点： 等差数列；等差数列与一次函数的关系． 专题： 综合题． 分析： （1）根据所给的数列的前n项和，仿写一个等式，两式相减得到数列的通项，再用判断数列是等差数列的方法，得到前一项与后一项的差是一个常数，结论得证． （2）根据前面所得到的数列的基本量，写出数列的前n项和，整理所给的点的坐标，得到参数方程，用代入法消去参数，得到要求的直线方程． 解答： （1）证明：∵Sn=na+n（n﹣1），① ∴sn﹣1=（n﹣1）a+（n﹣1）（n﹣2）② ①﹣②an=2n+a﹣2， ∵an﹣an﹣1=2n+a﹣2﹣（2n﹣2+a﹣2）=2， 即数列的前一项与后一项的差是一个常数， ∴{an}是等差数列． （2）解： ∵=a+n﹣1， an=2n+a﹣2， 对于点，设出坐标是（x，y）， 则x=2n+a﹣2，y=n+a﹣1， ∴消去参数得y=x+a． 点评： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分． 24．（2006春?楚州区校级月考）已知四个数构成等差数列，前三个数的和为15，第一个数与第四个数的乘积为27，求这四个数． 考点： 等差数列；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 培养孩子终生学习力
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www.sunkongedu.com 分析： 设此等差数列的前4项分别为a﹣d，a，a+d，a+2d．由题意可得解答： 解：设此等差数列的前4项分别为a﹣d，a，a+d，a+2d． 由题意可得，解得． ，解出即可． ∴这四个数是：3，5，7，9 或 ，5，，6． 点评： 本题考查了等差数列的通项公式及其性质，属于基础题． 25．（2014秋?崇川区校级期末）求证：1， ，3不可能是一个等差数列中的三项． 考点： 等差数列． 专题： 反证法；等差数列与等比数列． 分析： 用反证法证明即可，其基本步骤是：①假设结论不成立，②从假设出发，经过正确的推理与证明，得出矛盾，③说明假设不成立，即结论是正确的． 解答： 证明：假设1，，3是一个等差数列中的三项， 可设该等差数列的首项为a，公差为d， 其中1，，3分别是等差数列的第m、n、k项， 则1=a+（n﹣1）d，① =a+（m﹣1）d，② 3=a+（k﹣1）d，③ ∴②﹣①得﹣1=（m﹣n）d， ③﹣①得2=（k﹣n）d， 将上面两式相除得： = 这是不可能的，上式右边是有理数，左边是无理数． ∴假设不成立， 即证1，，3不可能是一个等差数列中的三项． 点评： 本题考查了反证法的应用问题，也考查了等差数列的应用问题，是基础题目． 26．在等差数列{an}中，a12=23，a42=143，an=239，求n及公差d． 考点： 等差数列；等差数列的通项公式． 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： 由题意可得，d=可求公差d，结合已知可求a1，代入等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，可求n 解答： 解：由题意可得，d===4， ∴a1=﹣21 ∵an=a1+（n﹣1）d=﹣21+4（n﹣1）=239， 解得n=66 14
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www.sunkongedu.com 综上，n=66，d=4 点评： 本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题 27．（2014?衢州自主招生）已知数列前n项和Sn=2n﹣3n，求该数列的通项公式． 考点： 等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 当n=1时直接由Sn求出a1，当n≥2时由an=Sn﹣Sn﹣1求得答案，最后验证a1适合an得结论． 2解答： 解：由Sn=2n﹣3n， 当n=1时，a1=S1=﹣1； 当n≥2时， 2 =4n﹣5． 当n=1时上式成立． ∴数列的通项公式为an=4n﹣5． 点评： 本题考查了由数列的前n项和求通项公式，关键是注意分类讨论，是基础题． 28．（2015?绵阳模拟）已知数列{an}中，a1=1，二次函数f（x）=an?x+（2﹣an+1）?x的对称轴为x=． （1）试证明{2an}是等差数列，并求{an}通项公式； （2）设{an}的前n项和为Sn，试求使得Sn＜3成立的n值，并说明理由． 考点： 等差数列的通项公式；二次函数的性质；等差数列的前n项和． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． n+1nn分析： （1）根据对称轴，得到2an+1﹣2an=2，继而得到{2an}是以2为首项，以2公差的等差数列，根据等差数列的通项公式求出an， （2）利用错位相加法求出数列的前n项和为Sn，并利用函数的思想，得到Sn＜3成立的n值． 解答： ﹣n2证明：（1）∵二次函数f（x）=an?x+（2﹣an+1）?x的对称轴为x=． 2﹣nn∴n+1=， n∴2an+1﹣2an=2， ∵a1=1， ∴2a1=2， n∴{2an}是以2为首项，以2公差的等差数列， n∴2an=2+2（n﹣1）=2n， ∴an= （2）∵Sn=a1+a2+…+an=1×∴Sn=1×+2×+3×+…+n+2×， +3×+…+n， =n． 两式相减得， 15
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www.sunkongedu.com Sn=++++…+﹣n=﹣n=2﹣﹣n， ∴Sn=4﹣∵Sn＜3， ∴4﹣， ＜3 n﹣1∴n+2＞2， x﹣1分别画出函数y=x+2（x＞0），与y=2（x＞0）的图象，如图所示 由图象可知，当n=1，2，3时，Sn＜3成立． 点评： 本题考查二次函数的性质，以及等差关系的确定，错位相减法求数列的和，培养可学生的转化思想与综合运算、推理证明能力，属于中档题． 29．（2014?南昌模拟）已知数列{an}中，a1=1，且点P（an，an+1）（n∈N）在直线x﹣y+1=0上． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若函数f（n）=+++…+（n∈N，且n≥2），求函数f（n）的最小值． ** 考点： 等差数列的通项公式；函数的最值及其几何意义；数列的应用． 专题： 综合题． 分析： （1）把点P代入直线方程中，可得an+1﹣an=1，进而可知数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得an． （2）根据（1）中求得的数列{an}的通项公式代入f（n）和f（n+1），可求得f（n+1）﹣f（n）＞0，进而推断所以f（n）是单调递增，故可知f（2）是函数f（n）的最小值． 解答： 解：（1）由点P（an，an+1）在直线x﹣y+1=0上， 即an+1﹣an=1，且a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， an=1+（n﹣1）?1=n（n≥2），a1=1同样满足， 所以an=n． （2），． ，培养孩子终生学习力
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www.sunkongedu.com 所以f（n）是单调递增， 故f（n）的最小值是． 点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式．属基础题． 30．（2014?泉州模拟）已知等差列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S3=9． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式： （Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=式． 考点： 等差数列的通项公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）设出等差数列的公差d，然后由a1=1，S3=9列式求解d，则数列{an}的通项公式可求； 处取得最大值，且最大值为a2，求函数f（x）的解析（Ⅱ）求出a2的值，即A的值，再由在x=处取得最大值结合φ的范围求φ，则函数f（x）的解析式可求． 解答： 解：（Ⅰ）设等差列{an}的公差为d，依题意得： ，解得d=2． ∴等差数列的通项公式为an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，a2=3， ∴A=3． ∵f（x）在x=∴处取得最大值， φ=2kπ，k∈Z． 又∵0＜φ＜π， ∴φ=． ）． ∴函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，是基础题． 培养孩子终生学习力
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