第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
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学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数.2.能利用给出的
x基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 导函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ xf(x)＝x
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 1f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－2 xf′(x)＝12x 1导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a(a>0) f′(x)＝ex f′(x)＝(a>0且a≠1) xln af′(x)＝ x11 1
1
1．若y＝2，则y′＝×2＝1.( × )
22．若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( × ) 13
3．f(x)＝3，则f′(x)＝－4.( √ )
xx
类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数．
1?xπx2?2x(1)y＝sin ；(2)y＝??；(3)y＝lg x；(4)y＝；(5)y＝2cos－1.
62?2?x考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 解 (1)y′＝0.
?1?x1?1?x(2)y′＝??ln＝－??ln 2.
?2?2?2?
(3)y′＝
1
. xln 10
3x2
(4)∵y＝＝x2，
x33
∴y′＝(x)′＝x2＝x.
22(5)∵y＝2cos－1＝cos x， 2∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
如y＝4可以写成y＝x，y＝x可以写成y＝x等，这样就可以直接使用幂函数的求导公
－4
3
2
321x1
5
x35式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 1
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝3，则f′(－3)等于( )
xA．81
B．243
2
C．－243
1D．－ 27
1
(2)已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝2，则x0＝ .
x0
考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 (1)D (2)1
解析 (1)因为f(x)＝x， 3－4
所以f′(x)＝－3x＝－4，
－3
x31
所以f′(－3)＝－. 4＝－?－3?27(2)因为f(x)＝ln x(x>0)， 1
所以f′(x)＝，
x11
所以f′(x0)＝＝2，所以x0＝1.
x0x0
类型二 利用导数公式研究切线问题 命题角度1 求切线方程或切线斜率
1
例2 已知曲线y＝f(x)＝x，y＝g(x)＝，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线x与x轴所围成的三角形面积． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用
??y＝x，解 由?1
y＝，??x
??x＝1，
得?
?y＝1，?
得两曲线的交点坐标为(1,1)．
1
两条曲线切线的斜率分别为f′(1)＝，g′(1)＝－1.
21
易得两切线方程分别为y－1＝(x－1)，
2
y－1＝－(x－1)，
11
即y＝x＋与y＝－x＋2.
22
其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，
13
所以两切线与x轴所围成的三角形面积为×1×|2－(－1)|＝. 22
3
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．
4
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