π3??
C.?2kπ＋，?(k∈Z)
32??
π3??π3??
D.?2kπ＋，?或?2kπ－，－?(k∈Z)
32??32??
考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 D
11π
解析 设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y'|x=x0＝cos x0＝，∴x0＝2kπ＋223π
或2kπ－，
3∴y0＝
33或－. 22
1
5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
2A．2 C．ln 2－1
考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 C
1
解析 ∵y＝ln x的导数y′＝，
B．ln 2＋1 D．ln 2
x11
∴令＝，得x＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．
x21
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
2
6．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ) A．f(x)＝e C．f(x)＝ln x
考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 D
解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
1xx32
因为A项中，(e)′＝e>0，B项中，(x)′＝3x≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝>0，所
xB．f(x)＝x D．f(x)＝sin x
3
x以不会使切线斜率之积为－1，故选D. 7．设曲线y＝x
n＋1
(n∈N)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn9
*
的值为( ) 1A.
nB.
1 n＋1
C.
nn＋1
D．1
考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 B 解析 对y＝xn＋1
(n∈N)求导得y′＝(n＋1)·x.
*n令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1， ∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)． 令y＝0，得xn＝
nn＋1
，
123n－1n1
∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.
234nn＋1n＋1二、填空题 8．若曲线y＝x＝ .
考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 64 解析 ∵y＝x?12?12在点(a，a?12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a1?，∴y′＝－x2，
2
?123∴曲线在点(a，a1?2)处的切线斜率k＝－a，
2
123∴切线方程为y－a?1?2＝－a(x－a)．
2
33?令x＝0，得y＝a2；令y＝0，得x＝3a，
2∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 13?9
S＝·3a·a2＝a2＝18， 224∴a＝64.
1x9．设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标
111x为 ．
10
考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 (1,1)
解析 y＝e的导数为y′＝e，曲线y＝e在点(0,1)处的切线的斜率为k1＝e＝1. 11
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－2 (x>0)，
xxx0
xx11
曲线y＝ (x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－2 (m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
xm所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
10．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 4
11解析 ∵y′＝，∴切线方程为y－a＝(x－a)，
2x2a令x＝0，得y＝
a2
，令y＝0，得x＝－a，
1a由题意知··a＝2，∴a＝4.
22
11．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则
f2 017(x)＝ .
考点 正弦、余弦函数的导数 题点 正弦、余弦函数的运算法则 答案 cos x
解析 由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos
x，…依次类推可得，f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.
12．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用
?π??3π，π? 答案 ?0，?∪??44
?
??
?
解析 ∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，
?π??3π?∴－1≤kl≤1，∴α∈?0，?∪?，π?.
4??4??
11
三、解答题
13．点P是曲线y＝e上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用
解 如图，当曲线y＝e在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
xx
则曲线y＝e在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(e)′＝e， 所以e0＝1，得x0＝0，
代入y＝e，得y0＝1，即P(0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为四、探究与拓展
14．函数y＝x(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 21
解析 ∵y′＝2x，∴y＝x(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线方程为y－ak＝2ak(x－ak)． 又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
11
∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，
22∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
15．求证：双曲线xy＝a(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用
证明 设P(x0，y0)为双曲线xy＝a上任一点．
2
2
2
2
2
2
2
*
xxxx
x2
. 2
a?a?∵y′＝??′＝－2. x?x?
a2
∴过点P的切线方程为y－y0＝－2(x－x0)．
x0
22
12
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