第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
[基础题组练]
??x－3y＋6≤0，
1．不等式组?表示的平面区域是( )
?x－y＋2>0?
解析：选C.用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C.
2．设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( ) A．对任意实数a，(2，1)∈A B．对任意实数a，(2，1)?A C．当且仅当a<0时，(2，1)?A 3
D．当且仅当a≤时，(2，1)?A
2
??2a＋1>4，33
解析：选D.若(2，1)∈A，则?解得a>，所以当且仅当a≤时，(2，1)?A，
22?2－a≤2，?
故选D.
3．(2019·高考北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( ) A．－7 C．5
B．1 D．7
x≤1－y，?－x≤1－y，????|x|≤1－y，?
解析：选C.令z＝3x＋y，画出约束条件?即?x≥0，或?x<0，表
?y≥－1，????y≥－1?y≥－1
示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.
y≤2??
4．(2020·郑州市第二次质量预测)设变量x，y满足约束条件?x＋y≥1，则目标函数z??x－y≤1
?1?＝??
?3?
3x＋y的最大值为( )
11
3
?1?A.?? ?3?
C．3
?1?B.?? ?3?
D．4
3x＋y，设u＝3x＋y，欲求z?1?解析：选C.可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝???3??1?＝???3?
3x＋y的最大值，等价于求u＝3x＋y的最小值．u＝3x＋y可化为y＝－3x＋u，该直线
的纵截距为u，作出直线y＝－3x，并平移，当直线y＝－3x＋u经过点B(－1，2)时，纵截
?1?距u取得最小值umin＝3×(－1)＋2＝－1，所以z＝???3?
C.
3x＋y1?－1?的最大值zmax＝??＝3.故选
?3?
2x－y＋2≥0??22
5．(2020·洛阳市统考)如果点P(x，y)满足?x－2y＋1≤0，点Q在曲线x＋(y＋2)＝
??x＋y－2≤01上，则|PQ|的取值范围是( )
A．[5－1，10－1] C．[10－1，5]
B．[5－1，10＋1] D．[5－1，5]
解析：选D.作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q所在圆的圆心为M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM|的最小值为5，最大值为4，又圆M的半径为1，所以|PQ|的
取值范围是[5－1，5]，故选D.
x＋y－7≤0??
6．(2020·安徽省考试试题)设x，y满足约束条件?x－3y＋1≤0，则z＝2x－y的最小
??3x－y－5≥0
值为 ．
解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A时，目标函数z＝2x－y取得最小值．由?
??x＝3
得?，即A(3，4)，所以zmin＝2×3－4＝2. ?y＝4?
?3x－y－5＝0?
??x＋y－7＝0
，
法二：易知目标函数z＝2x－y??3x－y－5＝0
的最小值在可行域的顶点处取得，由?得
?x＋y－7＝0?
?????x＝3?3x－y－5＝0??x＝2?x＋y－7＝0?x＝5
?，由?得?，由?得?，所以可行域的顶点坐标分别为?????y＝4x－3y＋1＝0y＝1x－3y＋1＝0y＝2?????
(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z的值为2，3，8，所以z的最小值为2.
答案：2
x－3y＋10≤0??y7．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x，y满足?x＋2≥0，则z＝的取值范
x??x＋2y－5≤0
围为 ．
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