所以通过电子阅读的居民的平均年龄为：
20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5； （2）由题意200
人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为
, ∴纸质阅读的人数为
=50，其中中老年有人，∴纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，
=90，则中老年有
人，
青少年人数为150得2×2列联表， 青少年（人） 中老年（人） 合计（人） 计算所以有
电子阅读 90 60 150 纸质阅读 20 30 50 合计 110 90 200 ，
的把握认为认为阅读方式与年龄有关．
【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，考查了阅读理解的能力，是基础题． 20.椭圆点），若
的周长为
的左、右焦点分别为，且面积的最大值为
，为椭圆上一动点（异于左、右顶.
（1）求椭圆的方程； （2）设且
是椭圆上两动点，线段，求
的取值范围.
；（2）
.
的中点为，
的斜率分别为
为坐标原点，
【答案】（1） 【分析】 （1）通过2a+2c=
且，计算即得结论； ，
（2）当直线AB的斜率k＝0时，|OP|
- 17 -
当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为：x＝my+t，由﹣4＝0，求得p（|OP|2
，
）．由
2
2
可得（m+4）y+2mty+t2
222
，?2t＝m+4，代入|OP|的运算中，化简得
∈（，2]即可．
的周长为2a+2c=
且
，
【详解】（1）由题知，∴
，c=
∴椭圆C的方程为：；
（2）当直线AB的斜率k＝0时， 此时k1，k2（O为坐标原点），满足可令OB的方程为：y，（xB＞0）
，k1＝-k2=﹣．
由可得B（，），
此时|OP|，
当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为：x＝my+t， 由
22
可得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，
2
2
2
2
△＝4mt﹣4（m+4）（t﹣4）＞0?m﹣t+4＞0…①
，
x1+x2＝m（y1+y2）+2t∴p（∵
2
．
）．
?4y1y2+x1x2＝0．
2
，，∵
?（4+m）y1y2+mt（y1+y2）+t＝0． ?t2﹣4
t2＝0．
?2t2＝m2+4，且t2≥2，…② 由①②可得t2≥2恒成立， |OP|2
∈（，2]
- 18 -
|OP|．
，
]．
综上，|OP|的取值范围为[
【点睛】本题考查了椭圆的方程的求法，考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算能力，转化思想，属于难题． 21.已知函数（1）曲线
在点
.
处的切线方程为
，求
的值；
（2）若，时，，都有，求的取值范围.
【答案】（1） 【分析】
；（2）.
（1）对f(x)求导后利用（2）先判断若对值，得到
，即，
-1,直接求解即可.
上是减函数，利用单调性及
在x∈
的大小去绝
时，f（x）在区间
，构造函数在x∈
时是增函数．可得利用导数分析其最
时恒成立．再构造g(x)=
值，即可得出实数a的取值范围． 【详解】（1）∵∴b=,a=1. （2）若
，
时，
上是减函数．
，
．
， 在x∈
时是增函数．
,在x
上
恒成立，
=
，∴
-2b=-1,
,
∴f（x）在区间
不妨设1 等价于 - 19 - ∴，即在x∈时恒成立．令g(x)=,则， 令∴ 在x∈ ∴ ． ，则=-=在x∈ <0在x∈时恒成立, 时恒成立,即 时是减函数，且x=e时，y=>0，∴y>0在x∈ 时恒成立, ∴ g(x) 在x∈时是增函数，∴g(x) 所以，实数a的取值范围是． 【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，考查了利用导数研究函数的单调性及最值范围问题，考查了等价转化、适当变形、构造函数等基础知识与基本技能，考查了理能力和计算能力，属于难题． 选修4—4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极 坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线 分别交于两点. ，求 的值； （1）若点的极坐标为 （2）求曲线的内接矩形周长的最大值. 【答案】（1）4；（2）16. 【分析】 （1）根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得 ，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案； （2）写出曲线C的参数方程，分析可得以P为顶点的内接矩形周长 l【详解】（1）由 ，由正弦函数的性质分析可得答案． ，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到+3=12, ，化为直角坐标为（-2，0） 所以曲线C的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为 - 20 -
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