∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4， ∴=，==，==，==， ∵AM=20，BC=25， ∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16， ∴MN=GN=GH=HE=4， ∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4， 即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1， ∴以B1C1为一边的矩形不是方形； ②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h， ∴△ABC∽△AB3C3， ∴==， 则AG=h， ∴MN=GN=GH=HE=h， 当B3C3=2×h，时，当B3C3=×h时，=； =． 综合上述：BC与BC边上的高之比是或． 点评：本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应 高的比等于相似比． 23．（12分）（2013?绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
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考点：相 似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 分析：（ 1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD； （2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值． 解答：（ 1）证明：如图1， 在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D， ∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB． ∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC， ∵点E为AB的中点，∴AB=2BE， ∴AC=BE． 在△ACD与△BEF中， ， ∴△ACD≌△BEF， ∴CD=EF，即EF=CD； （2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四边形EQDH是矩形， ∴∠QEH=90°， ∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG， 又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴EF：EG=EQ：EH． ∵AC：AB=1：，∠CAB=90°， ∴∠B=30°． 在△BEQ中，∵∠BQE=90°， ∴sin∠B==， ∴EQ=BE． 在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°， ∴cos∠AEH==， ∴EH=AE． ∵点E为AB的中点，∴BE=AE， ∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：． 14
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、 全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形． 24．（14分）（2013?绍兴）抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）解方程（x﹣3） （x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y=（x﹣3）22（x+1）配方，写成顶点式为y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4，即可确定顶点D的坐标； （2）①根据抛物线y=（x﹣3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明
△BCD∽△QOC，则==，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直 15
线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6，解方程组，即可求出点P的坐标； ②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在． 解 ：（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）， ∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0， 解得x=3或﹣1， ∴点B的坐标为（3，0）． ∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴顶点D的坐标为（1，﹣4）； （2）①如右图． ∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C， ∴C点坐标为（0，﹣3）． ∵对称轴为直线x=1， ∴点E的坐标为（1，0）． 连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3）， ∴CH=DH=1， ∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°， ∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形． 分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R． ∵∠BDE=∠DCP=∠QCR， ∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP， ∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP， ∴∠CDB=∠QCO， ∴△BCD∽△QOC， ∴==， ∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）． ∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3， 直线BD的解析式为y=2x﹣6． 由方程组，解得． ∴点P的坐标为（，﹣）； ②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时． 若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G． ∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°， 16
解答：
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