杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸
杭 州 师 范 大 学 2016 年招收攻读硕士研究生入学考试题 考试科目代码： 考试科目名称： 727 量子力学 说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。 一、 填空题（每空3分，共30分） 1. 含时薛定谔方程的表达式为 ， 定态薛定谔方程的表达式为 。 ?与动量算符p?x的对易关系为[x?,p?x]? ，角动量算符2. 坐标算符x???,L?]? ，其中?,??x,y,z. ?,L?,L?)满足的对易关系为[LL?(L??xyz??23．设n,l,m为氢原子的能量本征态，则n,l,mLn,l?1,m? ， ?n,l,m?1? ，?2?L?2n,l,m? 。n,l,mL n,l,mL如果一个体系处zxy于量子态??11?的可能2,1,0?2,2,1?c2,2,0，则系数 c的取值为 ，Lz23??2值为 ， L2本征值为6?出现的几率为 。 二、 简答题 （每题6分，共30分） 1．请简述玻尔原子理论，为什么说玻尔原子理论是半经典半量子的？ 2．量子力学有哪些基本假定？ 3．什么是定态？两个定态的线性叠加态是否还是定态？为什么？ 4．什么是量子力学中的隧道效应？ 2016 年 考试科目代码 727 考试科目名称 量子力学（本考试科目共 2页，第1 页）
杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸 5．对于单个氢原子问题，考虑自旋轨道耦合，有哪些守恒量？如不考虑自旋轨道耦合，但加上外磁场,又有哪些守恒量？ 三、 计算题（每题20分，共60分） 1. 设一质量为m的粒子在一维无限深势阱 V(x)??0?x?a?0中运动，在能量表象?x?0, x?a?中，该粒子处于能量本征态n，（n?1,2,?为能量量子数）。试求粒子在一维空间的几率分布和几率最大的位置，并计算(?x)2?nx2n?(nxn)2之值。 2. 有一种二维金属材料中的载流子运动状态在动量表象中可用如下哈密顿量来描写：?????(??，其中?????x,??y,??z) 为Pauli矩阵，其它物理量H?v(kx?x?ky?y)??BB????如动量k?(kx,ky)，速度v，玻尔磁矩?B，外磁场B等均为已知或待定参数。试分别计算当外磁场沿x轴或z轴时这种载流子的能量本征值和本征态。 3．一个一维耦合谐振子体系的哈密顿量为?2??2?2?12??H???2??m?2x12?x2??x1x2，其中耦合强度?非常小。2??2m??x1?x2?2?的基态和第一激发态能量。试计算H（严格解和微扰方法均可） ??四、 证明题 （每题10分，共30分） ?????????????2i?p?； ?1．p和L分别是动量算符和角动量算符， 证明：p?L?L?p??L??iL?，证明：[L?,L?]?i?L ， [L?,L?]??i?L?； 2．定义L?xyz??z???????????是作用在两个不同粒子上的Pauli 矩阵，证明：??和?3. ?1221 ??2??????. ?3?2?12?? 2016 年 考试科目代码 727 考试科目名称 量子力学（本考试科目共 2页，第2 页）
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